(1) 関数 $y = e^{x^2}$ の2階導関数 $y''$ を求める。 (2) 関数 $f(x) = \log(x^2 + 1)$ のとき、$f'(2)$ と $f''(2)$ の値を求める。 (3) $a, b$ を定数とする。関数 $f(x) = a\cos^2 x + b\sin^2 x$ が $f(\frac{\pi}{12}) = 1 + \sqrt{3}$ と $f'(\frac{\pi}{12}) = -2$ を満たすとき、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = e^{x^2}$ の2階導関数 $y''$ を求める。

(2) 関数 $f(x) = \log(x^2 + 1)$ のとき、$f'(2)$ と $f''(2)$ の値を求める。

(3) $a, b$ を定数とする。関数 $f(x) = a\cos^2 x + b\sin^2 x$ が $f(\frac{\pi}{12}) = 1 + \sqrt{3}$ と $f'(\frac{\pi}{12}) = -2$ を満たすとき、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = e^{x^2}$ について、$y'$ と $y''$ を求める。

まず、$y'$ を求める。

$y' = (e^{x^2})' = e^{x^2} \cdot (x^2)' = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}$

次に、$y''$ を求める。

$y'' = (2xe^{x^2})' = (2x)' e^{x^2} + 2x(e^{x^2})' = 2e^{x^2} + 2x(2xe^{x^2}) = 2e^{x^2} + 4x^2 e^{x^2} = 2(1+2x^2)e^{x^2}$

(2) $f(x) = \log(x^2 + 1)$ について、$f'(x)$ と $f''(x)$ を求める。

まず、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (x^2 + 1)' = \frac{2x}{x^2 + 1}$

$f'(2) = \frac{2 \cdot 2}{2^2 + 1} = \frac{4}{5}$

次に、$f''(x)$ を求める。

$f''(x) = \frac{(2x)'(x^2 + 1) - 2x(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2(x^2 + 1) - 2x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2}$

$f''(2) = \frac{2 - 2 \cdot 2^2}{(2^2 + 1)^2} = \frac{2 - 8}{25} = \frac{-6}{25}$

(3) $f(x) = a\cos^2 x + b\sin^2 x$ について、

$f(\frac{\pi}{12}) = a\cos^2 \frac{\pi}{12} + b\sin^2 \frac{\pi}{12} = 1 + \sqrt{3}$

$f'(x) = a \cdot 2\cos x \cdot (-\sin x) + b \cdot 2\sin x \cdot \cos x = -2a\sin x \cos x + 2b\sin x \cos x = (b-a) \sin 2x$

$f'(\frac{\pi}{12}) = (b-a) \sin \frac{\pi}{6} = (b-a) \cdot \frac{1}{2} = -2$

$b-a = -4$

$f(\frac{\pi}{12}) = a\cos^2 \frac{\pi}{12} + b\sin^2 \frac{\pi}{12} = a(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4})^2 + b(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})^2 = a\frac{8+4\sqrt{3}}{16} + b\frac{8-4\sqrt{3}}{16} = a\frac{2+\sqrt{3}}{4} + b\frac{2-\sqrt{3}}{4} = 1 + \sqrt{3}$

$(2+\sqrt{3})a + (2-\sqrt{3})b = 4 + 4\sqrt{3}$

$b = a - 4$ を代入する。

$(2+\sqrt{3})a + (2-\sqrt{3})(a-4) = 4 + 4\sqrt{3}$

$(2+\sqrt{3})a + (2-\sqrt{3})a - 4(2-\sqrt{3}) = 4 + 4\sqrt{3}$

$4a - 8 + 4\sqrt{3} = 4 + 4\sqrt{3}$

$4a = 12$

$a = 3$

$b = 3 - 4 = -1$

3. 最終的な答え

(1) $y'' = 2(1+2x^2)e^{x^2}$

(2) $f'(2) = \frac{4}{5}$, $f''(2) = -\frac{6}{25}$

(3) $a = 3$, $b = -1$