曲線 $y = 1 - x^2$ 上の点 $P(a, 1-a^2)$ における接線を求め、その接線と$x$軸、$y$軸で作られる三角形の面積$S$を$a$を用いて表す。さらに、$S$が最小となるような点$P$の座標を求める。ただし、$P$は第1象限の点である。

1. 問題の内容

曲線 $y = 1 - x^2$ 上の点 $P(a, 1-a^2)$ における接線を求め、その接線と$x$軸、$y$軸で作られる三角形の面積$S$を$a$を用いて表す。さらに、$S$が最小となるような点$P$の座標を求める。ただし、$P$は第1象限の点である。

2. 解き方の手順

(1) 点$P$における接線の方程式を求める。

まず、$y = 1 - x^2$ を微分すると、

$$y' = -2x$$

点$P(a, 1-a^2)$ における接線の傾きは $y'|_{x=a} = -2a$ である。

したがって、点$P$における接線の方程式は、

$$y - (1-a^2) = -2a(x-a)$$

$$y = -2ax + 2a^2 + 1 - a^2$$

$$y = -2ax + a^2 + 1$$

(2) 接線 $l$ と $x$軸、$y$軸によって作られる三角形の面積 $S$ を $a$ を用いて表す。

接線 $l$ の方程式は $y = -2ax + a^2 + 1$ である。

$x$軸との交点（$y=0$）は、

$$0 = -2ax + a^2 + 1$$

$$2ax = a^2 + 1$$

$$x = \frac{a^2+1}{2a}$$

$y$軸との交点（$x=0$）は、

$$y = a^2 + 1$$

したがって、$x$軸との交点の$x$座標は $\frac{a^2+1}{2a}$、$y$軸との交点の$y$座標は $a^2+1$ となる。

$a > 0$ なので、これらは正の値である。

三角形の面積 $S$ は、

$$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2+1}{2a} \cdot (a^2+1) = \frac{(a^2+1)^2}{4a}$$

(3) $S$ が最小となるような $P$ の座標を求める。

$S = \frac{(a^2+1)^2}{4a} = \frac{a^4+2a^2+1}{4a} = \frac{1}{4}(a^3 + 2a + \frac{1}{a})$ を $a$ で微分する。

$$S' = \frac{1}{4}(3a^2 + 2 - \frac{1}{a^2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3a^4 + 2a^2 - 1}{a^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{(3a^2-1)(a^2+1)}{a^2}$$

$S'=0$ となるのは $3a^2 - 1 = 0$ のとき。$a>0$ より $a = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ である。

$0 < a < \frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき $S' < 0$ であり、$a > \frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき $S' > 0$ であるから、$a = \frac{\sqrt{3}}{3}$ で $S$ は最小となる。

このとき、$P$ の $y$ 座標は $1 - a^2 = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $y = -2ax + a^2 + 1$

(2) $S = \frac{(a^2+1)^2}{4a}$

(3) $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2}{3})$