与えられた1階線形微分方程式 $y' + y = 2\cos x$ を定数変化法を用いて解く。

1. 問題の内容

与えられた1階線形微分方程式 $y' + y = 2\cos x$ を定数変化法を用いて解く。

2. 解き方の手順

まず、同次方程式 $y' + y = 0$ を解きます。

$y' = -y$

$\frac{dy}{dx} = -y$

$\frac{dy}{y} = -dx$

$\int \frac{dy}{y} = \int -dx$

$\ln|y| = -x + C$

$y = Ae^{-x}$ (Aは任意定数)

次に、定数変化法を用いて、一般解を $y = A(x)e^{-x}$ と仮定します。これを微分すると、

$y' = A'(x)e^{-x} - A(x)e^{-x}$

これを元の微分方程式 $y' + y = 2\cos x$ に代入します。

$A'(x)e^{-x} - A(x)e^{-x} + A(x)e^{-x} = 2\cos x$

$A'(x)e^{-x} = 2\cos x$

$A'(x) = 2e^{x}\cos x$

$A(x)$ を求めるために、$A'(x)$ を積分します。

$A(x) = \int 2e^{x}\cos x \, dx$

部分積分を2回行います。

$I = \int e^x \cos x \, dx$

$I = e^x \cos x - \int e^x (-\sin x) \, dx$

$I = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx$

$I = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$

$I = e^x \cos x + e^x \sin x - I$

$2I = e^x \cos x + e^x \sin x$

$I = \frac{1}{2}e^x(\cos x + \sin x)$

したがって、$A(x) = 2 \cdot \frac{1}{2}e^{x}(\cos x + \sin x) + C = e^{x}(\cos x + \sin x) + C$ （Cは積分定数）

よって、一般解は $y = A(x)e^{-x} = (e^{x}(\cos x + \sin x) + C)e^{-x} = \cos x + \sin x + Ce^{-x}$

3. 最終的な答え

$y = \cos x + \sin x + Ce^{-x}$