(1) 関数 $y = \log x$ のグラフを $C$ とするとき、$C$ に接し、かつ原点を通る直線 $l$ の方程式を求める問題。 (2) $C$ と $l$ と $x$ 軸で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求める問題。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = \log x$ のグラフを $C$ とするとき、$C$ に接し、かつ原点を通る直線 $l$ の方程式を求める問題。

(2) $C$ と $l$ と $x$ 軸で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

直線 $l$ は原点を通るので、$y = kx$ とおくことができます。

$y = \log x$ と $y = kx$ が接するとき、$\log x = kx$ となる $x$ が存在し、その点での接線の傾きが等しくなります。

接点を $(t, \log t)$ とすると、$\log t = kt$ が成り立ちます。

$y = \log x$ の導関数は $y' = \frac{1}{x}$ なので、接点 $(t, \log t)$ における接線の傾きは $\frac{1}{t}$ です。

したがって、$k = \frac{1}{t}$ が成り立ちます。

$\log t = kt$ に $k = \frac{1}{t}$ を代入すると、$\log t = \frac{1}{t} \cdot t = 1$ となります。

よって、$t = e$ となります。

$k = \frac{1}{t} = \frac{1}{e}$ なので、直線 $l$ の方程式は $y = \frac{1}{e}x$ となります。

(2)

$C: y = \log x$ と $l: y = \frac{1}{e}x$ の交点は、$x = e$ であることが分かっています。また、直線 $y = \frac{1}{e}x$ と $x$軸の交点は原点 $(0,0)$ ですが、$y=\log x$ と $x$軸の交点は $(1,0)$ です。

求める体積 $V$ は、区間 $[1, e]$ において、関数 $y = \log x$ と $x$軸で囲まれた部分を回転させてできる立体の体積から、区間 $[1, e]$ において、関数 $y = \frac{1}{e}x$ と $x$軸で囲まれた部分を回転させてできる立体の体積を引いたものです。さらに区間 $[0,1]$ において直線 $y = \frac{1}{e}x$ と $x$軸で囲まれた部分を回転させてできる立体の体積を引いたものです。

まず、$y = \log x$ を回転させてできる体積 $V_1$ は、

$V_1 = \pi \int_1^e (\log x)^2 dx$

部分積分を用いて計算すると、

$V_1 = \pi [ x(\log x)^2 - 2x\log x + 2x ]_1^e$

$V_1 = \pi [ e - 2e + 2e - (0 - 0 + 2) ] = \pi (e - 2)$

次に、$y = \frac{1}{e}x$ を区間 $[1, e]$ で回転させてできる体積 $V_2$ は、

$V_2 = \pi \int_1^e (\frac{1}{e}x)^2 dx = \frac{\pi}{e^2} \int_1^e x^2 dx = \frac{\pi}{e^2} [\frac{x^3}{3}]_1^e = \frac{\pi}{e^2} (\frac{e^3}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{\pi}{3} (e - \frac{1}{e^2})$

最後に、$y = \frac{1}{e}x$ を区間 $[0, 1]$ で回転させてできる体積 $V_3$ は、

$V_3 = \pi \int_0^1 (\frac{1}{e}x)^2 dx = \frac{\pi}{e^2} \int_0^1 x^2 dx = \frac{\pi}{e^2} [\frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{\pi}{e^2} (\frac{1}{3}) = \frac{\pi}{3e^2}$

したがって、求める体積 $V$ は、

$V = V_1 - V_2 - V_3 = \pi (e - 2) - \frac{\pi}{3} (e - \frac{1}{e^2}) - \frac{\pi}{3e^2} = \pi e - 2\pi - \frac{\pi e}{3} + \frac{\pi}{3e^2} - \frac{\pi}{3e^2} = \frac{2\pi e}{3} - 2\pi = \frac{2\pi}{3} (e - 3)$

問題文の体積は $\frac{2}{3} \pi (3 - e)$ となっているので、正しくは $\frac{2}{3} \pi (e - 3)$ です。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{e}x$

(2) $\frac{2}{3}\pi(e-3)$