$\int_{1}^{\infty} x^{\alpha} dx$ を計算します。ただし、$\alpha > -1$ です。

1. 問題の内容

$\int_{1}^{\infty} x^{\alpha} dx$ を計算します。ただし、$\alpha > -1$ です。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int x^{\alpha} dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{\infty} x^{\alpha} dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} x^{\alpha} dx = \lim_{b \to \infty} \left[ \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} \right]_{1}^{b}$

$= \lim_{b \to \infty} \left( \frac{b^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} - \frac{1^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} \right) = \lim_{b \to \infty} \frac{b^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} - \frac{1}{\alpha + 1}$

$\alpha > -1$ のとき、$\alpha + 1 > 0$ です。

$\lim_{b \to \infty} b^{\alpha+1}$ が収束するか発散するかを考えます。

$\alpha + 1 > 0$ なので、$b \to \infty$ のとき、$b^{\alpha+1} \to \infty$ となります。

したがって、$\int_{1}^{\infty} x^{\alpha} dx$ は発散します。

3. 最終的な答え

発散