以下の関数をそれぞれ積分せよ。 (1) $(x + \frac{1}{x})^2$ (2) $x^3 + 3^x$ (3) $\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x}$ (4) $\tan x + \frac{1}{\tan x}$ (5) $\cos 3x \cos 2x$ (6) $\frac{5}{x^2 + 3}$ (7) $\frac{2}{x^2 - 3}$ (8) $\frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}$ (9) $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}}$

はい、承知いたしました。問題文に書かれた9つの関数について、それぞれ不定積分を求めます。積分定数は省略します。

1. 問題の内容

以下の関数をそれぞれ積分せよ。

(1) $(x + \frac{1}{x})^2$

(2) $x^3 + 3^x$

(3) $\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x}$

(4) $\tan x + \frac{1}{\tan x}$

(5) $\cos 3x \cos 2x$

(6) $\frac{5}{x^2 + 3}$

(7) $\frac{2}{x^2 - 3}$

(8) $\frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}$

(9) $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}}$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で不定積分を求めます。

(1) $(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ を展開し、各項を積分します。

$\int (x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}) dx = \int x^2 dx + \int 2 dx + \int x^{-2} dx = \frac{1}{3}x^3 + 2x - \frac{1}{x}$

(2) $x^3$ と $3^x$ をそれぞれ積分します。

$\int (x^3 + 3^x) dx = \int x^3 dx + \int 3^x dx = \frac{1}{4}x^4 + \frac{3^x}{\ln 3}$

(3) $\sqrt{x} = x^{1/2}$、$\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$と表し、それぞれ積分します。

$\int (\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x}) dx = \int (x^{1/2} - 2x^{1/3}) dx = \int x^{1/2} dx - 2\int x^{1/3} dx = \frac{2}{3}x^{3/2} - 2\cdot\frac{3}{4}x^{4/3} = \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{3}{2}x^{4/3}$

(4) $\frac{1}{\tan x} = \cot x$ なので、$\tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} = 2\csc 2x$。

したがって、$\int (\tan x + \frac{1}{\tan x}) dx = \int 2\csc 2x dx = - \ln |\tan x | + C$ となる。または,

$\tan x + \frac{1}{\tan x} = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}$なので、$\int (\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}) dx = -\ln |\cos x| + \ln |\sin x| = \ln |\tan x|$.

$\int (\tan x + \frac{1}{\tan x}) dx = \int \tan x dx + \int \cot x dx = -\ln |\cos x| + \ln |\sin x| = \ln |\tan x|$

(5) 積和の公式 $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$ を用いると、$\cos 3x \cos 2x = \frac{1}{2}(\cos 5x + \cos x)$となります。

$\int \cos 3x \cos 2x dx = \frac{1}{2} \int (\cos 5x + \cos x) dx = \frac{1}{2} (\frac{1}{5}\sin 5x + \sin x) = \frac{1}{10}\sin 5x + \frac{1}{2}\sin x$

(6) $\int \frac{5}{x^2 + 3} dx = 5 \int \frac{1}{x^2 + (\sqrt{3})^2} dx = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \frac{x}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}}\arctan \frac{x}{\sqrt{3}}$

(7) 部分分数分解を行う。$\frac{2}{x^2 - 3} = \frac{A}{x - \sqrt{3}} + \frac{B}{x + \sqrt{3}}$とおくと、$2 = A(x + \sqrt{3}) + B(x - \sqrt{3})$。

$x = \sqrt{3}$のとき、$2 = 2\sqrt{3}A \implies A = \frac{1}{\sqrt{3}}$。

$x = -\sqrt{3}$のとき、$2 = -2\sqrt{3}B \implies B = -\frac{1}{\sqrt{3}}$。

$\int \frac{2}{x^2 - 3} dx = \int (\frac{1}{\sqrt{3}(x-\sqrt{3})} - \frac{1}{\sqrt{3}(x+\sqrt{3})}) dx = \frac{1}{\sqrt{3}}(\ln |x - \sqrt{3}| - \ln |x + \sqrt{3}|) = \frac{1}{\sqrt{3}}\ln |\frac{x-\sqrt{3}}{x+\sqrt{3}}|$

(8) $\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{2^2 - x^2}} dx = \arcsin \frac{x}{2}$

(9) $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 2^2}} dx = \operatorname{arcosh}\left(\frac{x}{2}\right) = \ln\left|x + \sqrt{x^2 - 4}\right|$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3}x^3 + 2x - \frac{1}{x}$

(2) $\frac{1}{4}x^4 + \frac{3^x}{\ln 3}$

(3) $\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{3}{2}x^{4/3}$

(4) $\ln |\tan x|$

(5) $\frac{1}{10}\sin 5x + \frac{1}{2}\sin x$

(6) $\frac{5}{\sqrt{3}}\arctan \frac{x}{\sqrt{3}}$

(7) $\frac{1}{\sqrt{3}}\ln |\frac{x-\sqrt{3}}{x+\sqrt{3}}|$

(8) $\arcsin \frac{x}{2}$

(9) $\ln\left|x + \sqrt{x^2 - 4}\right|$