与えられた定積分 $2\pi \int_0^1 (1-t^2)(t-t^3)(-2t) dt$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$2\pi \int_0^1 (1-t^2)(t-t^3)(-2t) dt$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を整理します。

\begin{align*} (1-t^2)(t-t^3)(-2t) &= (1-t^2)(t(1-t^2))(-2t) \\ &= -2t^2(1-t^2)^2 \\ &= -2t^2(1 - 2t^2 + t^4) \\ &= -2t^2 + 4t^4 - 2t^6 \end{align*}

したがって、積分は

\begin{align*} 2\pi \int_0^1 (-2t^2 + 4t^4 - 2t^6) dt &= 2\pi \left[ -\frac{2}{3}t^3 + \frac{4}{5}t^5 - \frac{2}{7}t^7 \right]_0^1 \\ &= 2\pi \left( -\frac{2}{3} + \frac{4}{5} - \frac{2}{7} \right) \\ &= 2\pi \left( \frac{-2 \cdot 35 + 4 \cdot 21 - 2 \cdot 15}{105} \right) \\ &= 2\pi \left( \frac{-70 + 84 - 30}{105} \right) \\ &= 2\pi \left( \frac{-16}{105} \right) \\ &= -\frac{32\pi}{105} \end{align*}

3. 最終的な答え

$-\frac{32\pi}{105}$