次の関数の極限を求める問題です。 (a) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x+1} - 2x - 1)$ (b) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+4x+4x^2)}{x}$ (c) $\lim_{x \to 0} \pi x^2 \tan(\frac{\pi}{2}\cos^2 x)$

1. 問題の内容

次の関数の極限を求める問題です。

(a) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x+1} - 2x - 1)$

(b) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+4x+4x^2)}{x}$

(c) $\lim_{x \to 0} \pi x^2 \tan(\frac{\pi}{2}\cos^2 x)$

2. 解き方の手順

(a) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x+1} - 2x - 1)$

まず、$\sqrt{4x^2+8x+1} - 2x - 1$ を有理化します。

\begin{align*}

\sqrt{4x^2+8x+1} - 2x - 1 &= \frac{(\sqrt{4x^2+8x+1} - 2x - 1)(\sqrt{4x^2+8x+1} + 2x + 1)}{\sqrt{4x^2+8x+1} + 2x + 1} \\

&= \frac{(4x^2+8x+1) - (2x+1)^2}{\sqrt{4x^2+8x+1} + 2x + 1} \\

&= \frac{4x^2+8x+1 - (4x^2+4x+1)}{\sqrt{4x^2+8x+1} + 2x + 1} \\

&= \frac{4x}{\sqrt{4x^2+8x+1} + 2x + 1} \\

&= \frac{4x}{\sqrt{x^2(4+\frac{8}{x}+\frac{1}{x^2})} + 2x + 1} \\

&= \frac{4x}{x\sqrt{4+\frac{8}{x}+\frac{1}{x^2}} + 2x + 1} \\

&= \frac{4}{\sqrt{4+\frac{8}{x}+\frac{1}{x^2}} + 2 + \frac{1}{x}}

\end{align*}

したがって、

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\lim_{x \to \infty} \frac{4}{\sqrt{4+\frac{8}{x}+\frac{1}{x^2}} + 2 + \frac{1}{x}} = \frac{4}{\sqrt{4} + 2} = \frac{4}{2+2} = \frac{4}{4} = 1

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(b) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+4x+4x^2)}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+4x+4x^2)}{x}$は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。

\begin{align*}

\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+4x+4x^2)}{x} &= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{4+8x}{1+4x+4x^2}}{1} \\

&= \lim_{x \to 0} \frac{4+8x}{1+4x+4x^2} \\

&= \frac{4}{1} = 4

\end{align*}

あるいは、$\log(1+t) \approx t (t \to 0)$を利用します。

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\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+4x+4x^2)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{4x+4x^2}{x} = \lim_{x \to 0} 4+4x = 4

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(c) $\lim_{x \to 0} \pi x^2 \tan(\frac{\pi}{2}\cos^2 x)$

$\lim_{x \to 0} \pi x^2 \tan(\frac{\pi}{2}\cos^2 x)$

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\lim_{x \to 0} \frac{\pi}{2}\cos^2 x = \frac{\pi}{2}

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\lim_{x \to 0} \pi x^2 \tan(\frac{\pi}{2}\cos^2 x) = \lim_{x \to 0} \pi x^2 \tan(\frac{\pi}{2}(1-\sin^2 x)) = \lim_{x \to 0} \pi x^2 \tan(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\sin^2 x)

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\tan(\frac{\pi}{2}-t) = \cot t

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\lim_{x \to 0} \pi x^2 \cot(\frac{\pi}{2}\sin^2 x) = \lim_{x \to 0} \frac{\pi x^2}{\tan(\frac{\pi}{2}\sin^2 x)}

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$\lim_{t \to 0} \frac{\tan t}{t} = 1$ を利用します。

\begin{align*}

\lim_{x \to 0} \frac{\pi x^2}{\tan(\frac{\pi}{2}\sin^2 x)} &= \lim_{x \to 0} \frac{\pi x^2}{\frac{\pi}{2}\sin^2 x} \\

&= \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{\sin^2 x} \\

&= 2 \lim_{x \to 0} (\frac{x}{\sin x})^2 = 2(1)^2 = 2

\end{align*}

3. 最終的な答え

(a) 1

(b) 4

(c) 2