$\frac{d}{dx} (\sqrt{x} e^{-x})$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\frac{d}{dx} (\sqrt{x} e^{-x})$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、積の微分公式を使います。積の微分公式は、２つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ に対して、

$\frac{d}{dx} [u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

で与えられます。

この問題では、$u(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$、 $v(x) = e^{-x}$ とします。

$u'(x) = \frac{d}{dx} x^{1/2} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v'(x) = \frac{d}{dx} e^{-x} = -e^{-x}$

積の微分公式に代入すると、

$\frac{d}{dx} (\sqrt{x} e^{-x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} e^{-x} + \sqrt{x} (-e^{-x}) = \frac{e^{-x}}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} e^{-x}$

$e^{-x}$と $\sqrt{x}$ でくくると、

$e^{-x}(\frac{1}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x})$

$e^{-x}(\frac{1 - 2x}{2\sqrt{x}})$

$\frac{e^{-x}(1 - 2x)}{2\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

$\frac{e^{-x}(1 - 2x)}{2\sqrt{x}}$