x軸上を運動する点Pの時刻$t$における座標$x$が、$x = t^3 - 9t^2 + 15t$で与えられている。 (1) 時刻$t=2$における点Pの座標$x$、速度$v$、加速度$\alpha$を求める。 (2) 点Pが運動の向きを2回変える時刻を求める。

1. 問題の内容

x軸上を運動する点Pの時刻$t$における座標$x$が、$x = t^3 - 9t^2 + 15t$で与えられている。

(1) 時刻$t=2$における点Pの座標$x$、速度$v$、加速度$\alpha$を求める。

(2) 点Pが運動の向きを2回変える時刻を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、速度$v$と加速度$\alpha$を求めるために、$x$を時間$t$で微分する。

$v = \frac{dx}{dt} = 3t^2 - 18t + 15$

次に、$v$を時間$t$で微分して加速度$\alpha$を求める。

$\alpha = \frac{dv}{dt} = 6t - 18$

$t=2$における$x$, $v$, $\alpha$を求めるために、それぞれの式に$t=2$を代入する。

$x(2) = 2^3 - 9(2^2) + 15(2) = 8 - 36 + 30 = 2$

$v(2) = 3(2^2) - 18(2) + 15 = 12 - 36 + 15 = -9$

$\alpha(2) = 6(2) - 18 = 12 - 18 = -6$

(2)

点Pが運動の向きを変えるのは、速度$v$が0になるときである。したがって、$v = 0$となる$t$を求める。

$3t^2 - 18t + 15 = 0$

$t^2 - 6t + 5 = 0$

$(t-1)(t-5) = 0$

よって、$t=1$と$t=5$で運動の向きが変わる。

3. 最終的な答え

(1)

2秒後の点Pの座標は$x = 2$、速度は$v = -9$、加速度は$\alpha = -6$。

(2)

点Pは1秒後と5秒後に運動の向きを変える。