与えられた写像 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^2$ と集合 $S_1 = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le 0\}$ に対して、以下の問題を解く。 (1) $S_1$ の補集合 $S_1^c$ の像 $f(S_1^c)$ を求める。 (2) $S_1$ の像 $f(S_1)$ の補集合 $(f(S_1))^c$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた写像 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^2$ と集合 $S_1 = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le 0\}$ に対して、以下の問題を解く。

(1) $S_1$ の補集合 $S_1^c$ の像 $f(S_1^c)$ を求める。

(2) $S_1$ の像 $f(S_1)$ の補集合 $(f(S_1))^c$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$S_1^c$ を求める。$S_1^c = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}$ である。

次に、$f(S_1^c)$ を求める。$f(S_1^c) = \{f(x) \mid x \in S_1^c\} = \{x^2 \mid x > 0\} = \{y \in \mathbb{R} \mid y > 0\} = (0, \infty)$ である。

(2)

まず、$f(S_1)$ を求める。$f(S_1) = \{f(x) \mid x \in S_1\} = \{x^2 \mid x \le 0\} = \{y \in \mathbb{R} \mid y \ge 0\} = [0, \infty)$ である。

次に、$(f(S_1))^c$ を求める。$(f(S_1))^c = \mathbb{R} \setminus f(S_1) = \mathbb{R} \setminus [0, \infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 0\} = (-\infty, 0)$ である。

3. 最終的な答え

(1)

正解: $f(S_1^c) = (0, \infty)$

その理由: $S_1^c$ は正の実数全体であり、その像は正の実数の2乗全体なので、正の実数全体となる。

(2)

正解: $(f(S_1))^c = (-\infty, 0)$

その理由: $S_1$ は0以下の実数全体であり、その像は0以上の実数全体となる。したがって、その補集合は負の実数全体となる。