$|r| < 1$ を満たす実数 $r$ が与えられたとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $S_n = \sum_{k=0}^{n} k r^{k-1}$ を求めよ。 (2) $T_n = \sum_{k=0}^{n} k(k-1) r^{k-2}$ を求めよ。 (3) $\sum_{k=0}^{\infty} k^2 r^k$ を求めよ。 ただし、$\lim_{n \to \infty} nr^n = 0$ および $\lim_{n \to \infty} n(n-1)r^n = 0$ である。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$|r| < 1$ を満たす実数 $r$ が与えられたとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $S_n = \sum_{k=0}^{n} k r^{k-1}$ を求めよ。

(2) $T_n = \sum_{k=0}^{n} k(k-1) r^{k-2}$ を求めよ。

(3) $\sum_{k=0}^{\infty} k^2 r^k$ を求めよ。

ただし、$\lim_{n \to \infty} nr^n = 0$ および $\lim_{n \to \infty} n(n-1)r^n = 0$ である。

2. 解き方の手順

(1) $S_n = \sum_{k=0}^{n} k r^{k-1}$ を求める。

等比数列の和の公式 $\sum_{k=0}^{n} r^k = \frac{1-r^{n+1}}{1-r}$ を利用します。

両辺を $r$ で微分すると、

$\sum_{k=0}^{n} k r^{k-1} = \frac{d}{dr} (\frac{1-r^{n+1}}{1-r})$

$= \frac{-(n+1)r^n(1-r) - (1-r^{n+1})(-1)}{(1-r)^2}$

$= \frac{-(n+1)r^n + (n+1)r^{n+1} + 1 - r^{n+1}}{(1-r)^2}$

$= \frac{1 - (n+1)r^n + nr^{n+1}}{(1-r)^2}$

(2) $T_n = \sum_{k=0}^{n} k(k-1) r^{k-2}$ を求める。

(1)と同様に、等比数列の和の公式を2回微分して求めます。

$\sum_{k=0}^{n} r^k = \frac{1-r^{n+1}}{1-r}$

両辺を $r$ で2回微分すると、

$\sum_{k=0}^{n} k(k-1) r^{k-2} = \frac{d^2}{dr^2} (\frac{1-r^{n+1}}{1-r})$

(1)の結果を利用してさらに微分すると、

$\frac{d}{dr} (\frac{1 - (n+1)r^n + nr^{n+1}}{(1-r)^2}) = \frac{(-(n+1)nr^{n-1} + n(n+1)r^n)(1-r)^2 - (1 - (n+1)r^n + nr^{n+1})2(1-r)(-1)}{(1-r)^4}$

$= \frac{(-(n+1)nr^{n-1} + n(n+1)r^n)(1-r) + 2(1 - (n+1)r^n + nr^{n+1})}{(1-r)^3}$

$= \frac{2 - (n+1)n r^{n-1} + n(n+1)r^n + (n+1)n r^n - n(n+1) r^{n+1} - 2(n+1)r^n + 2nr^{n+1}}{(1-r)^3}$

$= \frac{2 - n(n+1)r^{n-1} + n(n+1)r^n - 2(n+1)r^n + 2nr^{n+1}}{(1-r)^3}$

$= \frac{2 - n(n+1)r^{n-1} + (n^2 + n - 2n - 2) r^n + (2n) r^{n+1}}{(1-r)^3}$

$= \frac{2 - n(n+1)r^{n-1} + (n^2 - n - 2) r^n + 2nr^{n+1}}{(1-r)^3}$

$= \frac{2 - n(n+1)r^{n-1} + (n-2)(n+1) r^n + 2nr^{n+1}}{(1-r)^3}$

(3) $\sum_{k=0}^{\infty} k^2 r^k$ を求める。

$k^2 = k(k-1) + k$ であるから、

$\sum_{k=0}^{\infty} k^2 r^k = \sum_{k=0}^{\infty} k(k-1) r^k + \sum_{k=0}^{\infty} k r^k$

$= r^2 \sum_{k=0}^{\infty} k(k-1) r^{k-2} + r \sum_{k=0}^{\infty} k r^{k-1}$

$T = \lim_{n \to \infty} T_n = \frac{2}{(1-r)^3}$、 $S = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{(1-r)^2}$ を利用して、

$\sum_{k=0}^{\infty} k^2 r^k = r^2 \frac{2}{(1-r)^3} + r \frac{1}{(1-r)^2} = \frac{2r^2 + r(1-r)}{(1-r)^3} = \frac{2r^2 + r - r^2}{(1-r)^3} = \frac{r^2 + r}{(1-r)^3} = \frac{r(r+1)}{(1-r)^3}$

3. 最終的な答え

(1) $S_n = \frac{1 - (n+1)r^n + nr^{n+1}}{(1-r)^2}$

(2) $T_n = \frac{2 - n(n+1)r^{n-1} + (n-2)(n+1) r^n + 2nr^{n+1}}{(1-r)^3}$

(3) $\sum_{k=0}^{\infty} k^2 r^k = \frac{r(r+1)}{(1-r)^3}$