定積分 $\int_{2}^{4} \frac{dx}{x^2 - 1}$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{2}^{4} \frac{dx}{x^2 - 1}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $\frac{1}{x^2 - 1}$ を部分分数分解します。

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ より、

$$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$$

となる $A$ と $B$ を求めます。両辺に $(x - 1)(x + 1)$ を掛けると、

$$1 = A(x + 1) + B(x - 1)$$

$x = 1$ のとき、$1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$x = -1$ のとき、$1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$

したがって、

$$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{2(x - 1)} - \frac{1}{2(x + 1)}$$

定積分は、

$$\int_{2}^{4} \frac{dx}{x^2 - 1} = \int_{2}^{4} \left( \frac{1}{2(x - 1)} - \frac{1}{2(x + 1)} \right) dx$$

$$= \frac{1}{2} \int_{2}^{4} \left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} \right) dx$$

$$= \frac{1}{2} \left[ \ln |x - 1| - \ln |x + 1| \right]_{2}^{4}$$

$$= \frac{1}{2} \left[ \ln \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| \right]_{2}^{4}$$

$$= \frac{1}{2} \left( \ln \frac{3}{5} - \ln \frac{1}{3} \right)$$

$$= \frac{1}{2} \left( \ln \frac{3}{5} - \ln \frac{1}{3} \right)$$

$$= \frac{1}{2} \ln \left( \frac{3/5}{1/3} \right) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{9}{5} \right)$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln \frac{9}{5}$