放物線 $y = \frac{1}{4}x^2$ と直線ABで囲まれた図形の面積を求めよ。ただし、点Aのx座標は-8、点Bのx座標は6である。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{4}x^2$ と直線ABで囲まれた図形の面積を求めよ。ただし、点Aのx座標は-8、点Bのx座標は6である。

2. 解き方の手順

まず、点Aと点Bの座標を求める。

点Aのx座標が-8なので、$y = \frac{1}{4}(-8)^2 = \frac{1}{4}(64) = 16$より、点Aの座標は(-8, 16)である。

点Bのx座標が6なので、$y = \frac{1}{4}(6)^2 = \frac{1}{4}(36) = 9$より、点Bの座標は(6, 9)である。

次に、直線ABの式を求める。

直線ABの傾きは、$\frac{9-16}{6-(-8)} = \frac{-7}{14} = -\frac{1}{2}$である。

直線ABの式を$y = -\frac{1}{2}x + b$とおき、点B(6, 9)を代入すると、$9 = -\frac{1}{2}(6) + b$より、$9 = -3 + b$となり、$b = 12$である。

したがって、直線ABの式は$y = -\frac{1}{2}x + 12$である。

次に、放物線と直線ABで囲まれた図形の面積を求める。

面積は、$\int_{-8}^{6} ((-\frac{1}{2}x + 12) - \frac{1}{4}x^2) dx$で求められる。

$= \int_{-8}^{6} (-\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x + 12) dx$

$= [-\frac{1}{12}x^3 - \frac{1}{4}x^2 + 12x]_{-8}^{6}$

$= (-\frac{1}{12}(6)^3 - \frac{1}{4}(6)^2 + 12(6)) - (-\frac{1}{12}(-8)^3 - \frac{1}{4}(-8)^2 + 12(-8))$

$= (-\frac{216}{12} - \frac{36}{4} + 72) - (-\frac{-512}{12} - \frac{64}{4} - 96)$

$= (-18 - 9 + 72) - (\frac{512}{12} - 16 - 96)$

$= 45 - (\frac{128}{3} - 112)$

$= 45 - (\frac{128 - 336}{3})$

$= 45 - (-\frac{208}{3})$

$= 45 + \frac{208}{3}$

$= \frac{135 + 208}{3}$

$= \frac{343}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{343}{3}$