定積分 $\int_{2}^{4} \frac{dx}{x^2-1}$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{2}^{4} \frac{dx}{x^2-1}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ であるから、

$\frac{1}{x^2-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$ とおきます。

両辺に $x^2-1$ をかけると、

$1 = A(x+1) + B(x-1)$

となります。

$x=1$ のとき、$1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$。

$x=-1$ のとき、$1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$。

したがって、

$\frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right)$

となります。

よって、

\begin{align*} \label{eq:1} \int_{2}^{4} \frac{dx}{x^2-1} &= \frac{1}{2} \int_{2}^{4} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right) dx \\ &= \frac{1}{2} \left[ \ln|x-1| - \ln|x+1| \right]_{2}^{4} \\ &= \frac{1}{2} \left[ \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| \right]_{2}^{4} \\ &= \frac{1}{2} \left( \ln \left| \frac{4-1}{4+1} \right| - \ln \left| \frac{2-1}{2+1} \right| \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \ln \frac{3}{5} - \ln \frac{1}{3} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \ln \frac{3}{5} - \ln \frac{1}{3} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \ln \frac{3}{5} + \ln 3 \right) \\ &= \frac{1}{2} \ln \left( \frac{3}{5} \cdot 3 \right) \\ &= \frac{1}{2} \ln \frac{9}{5}\end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln \frac{9}{5}$