定積分 $\int_{-1}^{1} |e^{\frac{x}{2}}-1|dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} |e^{\frac{x}{2}}-1|dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$e^{\frac{x}{2}}-1$ の符号を考えます。

$e^{\frac{x}{2}}$ は常に正であり、$x$ が $-1 \le x \le 1$ の範囲にあるとき、$e^{\frac{x}{2}}$ は単調増加関数です。

$x=0$ のとき、$e^{\frac{x}{2}} = e^0 = 1$ となり、$e^{\frac{x}{2}}-1 = 0$ となります。

したがって、$x<0$ では $e^{\frac{x}{2}}-1 < 0$、$x>0$ では $e^{\frac{x}{2}}-1 > 0$ です。

絶対値を外すために、積分区間を $x=0$ で分割します。

$\int_{-1}^{1} |e^{\frac{x}{2}}-1|dx = \int_{-1}^{0} (1 - e^{\frac{x}{2}})dx + \int_{0}^{1} (e^{\frac{x}{2}}-1)dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{-1}^{0} (1 - e^{\frac{x}{2}})dx = [x - 2e^{\frac{x}{2}}]_{-1}^{0} = (0 - 2e^0) - (-1 - 2e^{-\frac{1}{2}}) = -2 + 1 + 2e^{-\frac{1}{2}} = -1 + 2e^{-\frac{1}{2}}$

$\int_{0}^{1} (e^{\frac{x}{2}}-1)dx = [2e^{\frac{x}{2}} - x]_{0}^{1} = (2e^{\frac{1}{2}} - 1) - (2e^0 - 0) = 2e^{\frac{1}{2}} - 1 - 2 = 2e^{\frac{1}{2}} - 3$

したがって、

$\int_{-1}^{1} |e^{\frac{x}{2}}-1|dx = (-1 + 2e^{-\frac{1}{2}}) + (2e^{\frac{1}{2}} - 3) = 2(e^{\frac{1}{2}} + e^{-\frac{1}{2}}) - 4$

3. 最終的な答え

$2(e^{\frac{1}{2}} + e^{-\frac{1}{2}}) - 4$