与えられた定積分の値を求めます。 $ \int_{0}^{1} e^{\sqrt{x}} dx + \int_{1}^{e} (\log y)^2 dy $

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を求めます。

$\int_{0}^{1} e^{\sqrt{x}} dx + \int_{1}^{e} (\log y)^2 dy$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの定積分を別々に計算します。

最初の定積分:

$I_1 = \int_{0}^{1} e^{\sqrt{x}} dx$

ここで、$u = \sqrt{x}$ と置換すると、$x = u^2$ となり、$dx = 2u du$ となります。

積分範囲は、$x: 0 \to 1$ に対して $u: 0 \to 1$ となります。

したがって、

$I_1 = \int_{0}^{1} e^u \cdot 2u du = 2 \int_{0}^{1} ue^u du$

部分積分を使って、$\int ue^u du$ を計算します。

$\int ue^u du = u \int e^u du - \int (\frac{du}{du} \int e^u du) du = ue^u - \int e^u du = ue^u - e^u + C$

したがって、

$I_1 = 2 [ue^u - e^u]_{0}^{1} = 2 [(1 \cdot e^1 - e^1) - (0 \cdot e^0 - e^0)] = 2 [(e - e) - (0 - 1)] = 2 [0 + 1] = 2$

次の定積分:

$I_2 = \int_{1}^{e} (\log y)^2 dy$

部分積分を使って計算します。

$u = (\log y)^2, dv = dy$ とすると、$du = \frac{2 \log y}{y} dy, v = y$ となります。

$\int (\log y)^2 dy = y (\log y)^2 - \int y \cdot \frac{2 \log y}{y} dy = y (\log y)^2 - 2 \int \log y dy$

ここで、再び部分積分を使って、$\int \log y dy$ を計算します。

$u = \log y, dv = dy$ とすると、$du = \frac{1}{y} dy, v = y$ となります。

$\int \log y dy = y \log y - \int y \cdot \frac{1}{y} dy = y \log y - \int dy = y \log y - y + C$

したがって、

$\int (\log y)^2 dy = y (\log y)^2 - 2 (y \log y - y) + C = y (\log y)^2 - 2 y \log y + 2y + C$

$I_2 = [y (\log y)^2 - 2 y \log y + 2y]_{1}^{e} = [e (\log e)^2 - 2 e \log e + 2e] - [1 (\log 1)^2 - 2 \cdot 1 \cdot \log 1 + 2 \cdot 1]$

$= [e (1)^2 - 2 e (1) + 2e] - [1 (0)^2 - 2 \cdot 1 \cdot 0 + 2] = [e - 2e + 2e] - [0 - 0 + 2] = e - 2$

よって、

$\int_{0}^{1} e^{\sqrt{x}} dx + \int_{1}^{e} (\log y)^2 dy = I_1 + I_2 = 2 + (e - 2) = e$

3. 最終的な答え

$e$