与えられた2つの不定積分を計算する問題です。 (1) $\int \frac{2x^3 + 2x - x + 3}{2x + 1} dx$ (2) $\int \frac{x^3 - 3x^2 - 2x + 4}{x^2 + 3} dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの不定積分を計算する問題です。

(1) $\int \frac{2x^3 + 2x - x + 3}{2x + 1} dx$

(2) $\int \frac{x^3 - 3x^2 - 2x + 4}{x^2 + 3} dx$

2. 解き方の手順

(1) 分子を分母で割ることで、被積分関数をより簡単な形に変形します。

多項式の割り算を行います。

$2x^3+2x-x+3 = 2x^3 + x + 3$ を $2x+1$ で割ると、

商は $x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}$、余りは $\frac{9}{4}$ となります。

したがって、

$\frac{2x^3 + x + 3}{2x + 1} = x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{4} + \frac{9/4}{2x + 1}$

積分を計算します。

$\int \frac{2x^3 + x + 3}{2x + 1} dx = \int (x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{4} + \frac{9/4}{2x + 1}) dx$

$= \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{4} + \frac{3}{4}x + \frac{9}{8} \ln|2x + 1| + C$

(2) 分子を分母で割ることで、被積分関数をより簡単な形に変形します。

多項式の割り算を行います。

$x^3-3x^2-2x+4$ を $x^2+3$ で割ると、

商は $x-3$、余りは $-5x+13$ となります。

したがって、

$\frac{x^3 - 3x^2 - 2x + 4}{x^2 + 3} = x - 3 + \frac{-5x + 13}{x^2 + 3}$

積分を計算します。

$\int \frac{x^3 - 3x^2 - 2x + 4}{x^2 + 3} dx = \int (x - 3 + \frac{-5x + 13}{x^2 + 3}) dx$

$= \int (x - 3 - \frac{5x}{x^2 + 3} + \frac{13}{x^2 + 3}) dx$

$= \frac{x^2}{2} - 3x - \frac{5}{2} \ln|x^2 + 3| + \frac{13}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{x}{\sqrt{3}}) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{2x^3 + 2x - x + 3}{2x + 1} dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{4} + \frac{3}{4}x + \frac{9}{8} \ln|2x + 1| + C$

(2) $\int \frac{x^3 - 3x^2 - 2x + 4}{x^2 + 3} dx = \frac{x^2}{2} - 3x - \frac{5}{2} \ln(x^2 + 3) + \frac{13}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{x}{\sqrt{3}}) + C$