問題1： 極限 $\lim_{n \to \infty} n \log \left( 1 + \frac{a+b}{n} + \frac{ab}{n^2} \right)$ を求めよ。ただし、$a, b$ は正の定数とする。 問題2： 極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (a^n + a^{3n})$ を求めよ。ただし、$0 < a < 1$ とする。

1. 問題の内容

問題1：

極限 $\lim_{n \to \infty} n \log \left( 1 + \frac{a+b}{n} + \frac{ab}{n^2} \right)$ を求めよ。ただし、$a, b$ は正の定数とする。

問題2：

極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (a^n + a^{3n})$ を求めよ。ただし、$0 < a < 1$ とする。

2. 解き方の手順

問題1：

まず、$\log(1+x)$ の $x \to 0$ での近似 $\log(1+x) \approx x$ を利用する。

$n \to \infty$ のとき $\frac{a+b}{n} + \frac{ab}{n^2} \to 0$ であるから、

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\lim_{n \to \infty} n \log \left( 1 + \frac{a+b}{n} + \frac{ab}{n^2} \right) = \lim_{n \to \infty} n \left( \frac{a+b}{n} + \frac{ab}{n^2} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( a+b + \frac{ab}{n} \right) = a+b

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問題2：

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (a^n + a^{3n})$ を求める。

$0 < a < 1$ より $a^{3n} = (a^2)^n a^n < a^n$ 。したがって、$n$ が大きくなると、$a^{3n}$ は $a^n$ よりはるかに小さくなるので無視できると考える。

$a^n$ をくくり出すと、

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\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (a^n + a^{3n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (a^n (1 + a^{2n})) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} ( \log(a^n) + \log(1 + a^{2n}) )

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= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} ( n \log a + \log(1 + a^{2n}) ) = \lim_{n \to \infty} \left( \log a + \frac{1}{n} \log(1 + a^{2n}) \right)

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$n \to \infty$ のとき、$a^{2n} \to 0$ なので、$\log(1 + a^{2n}) \approx a^{2n}$ 。

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\lim_{n \to \infty} \left( \log a + \frac{1}{n} \log(1 + a^{2n}) \right) = \log a + \lim_{n \to \infty} \frac{a^{2n}}{n} = \log a + 0 = \log a

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3. 最終的な答え

問題1：$a+b$

問題2：$\log a$