$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

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1. 問題の内容

画像には、次の2つの積分問題が示されています。

* 問題1: $\int \frac{1}{x^2 - 5x + 6} dx$

* 問題2: $\int \frac{1}{x^2 + 6x + 12} dx$

それぞれについて、積分を計算します。

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2. 解き方の手順

### 問題1: $\int \frac{1}{x^2 - 5x + 6} dx$

1. **因数分解:** まず、分母を因数分解します。

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

2. **部分分数分解:** 被積分関数を部分分数に分解します。

$\frac{1}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 3}$

両辺に $(x - 2)(x - 3)$ を掛けると、

$1 = A(x - 3) + B(x - 2)$

$x = 3$ のとき、$1 = B(3 - 2)$ より、$B = 1$。

$x = 2$ のとき、$1 = A(2 - 3)$ より、$A = -1$。

したがって、

$\frac{1}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{-1}{x - 2} + \frac{1}{x - 3}$

3. **積分:** 各項を積分します。

$\int \frac{1}{x^2 - 5x + 6} dx = \int \left(\frac{-1}{x - 2} + \frac{1}{x - 3}\right) dx$

$= -\int \frac{1}{x - 2} dx + \int \frac{1}{x - 3} dx$

$= -\ln|x - 2| + \ln|x - 3| + C$

$= \ln\left|\frac{x - 3}{x - 2}\right| + C$

### 問題2: $\int \frac{1}{x^2 + 6x + 12} dx$

1. **平方完成:** 分母を平方完成します。

$x^2 + 6x + 12 = (x^2 + 6x + 9) + 3 = (x + 3)^2 + 3$

2. **積分:** 積分を計算します。

$\int \frac{1}{x^2 + 6x + 12} dx = \int \frac{1}{(x + 3)^2 + 3} dx$

$x + 3 = \sqrt{3} \tan{\theta}$ と置換すると、$dx = \sqrt{3} \sec^2{\theta} d\theta$。

$\int \frac{1}{(x + 3)^2 + 3} dx = \int \frac{\sqrt{3}\sec^2{\theta}}{3\tan^2{\theta} + 3} d\theta$

$= \int \frac{\sqrt{3}\sec^2{\theta}}{3\sec^2{\theta}} d\theta = \int \frac{\sqrt{3}}{3} d\theta$

$= \frac{\sqrt{3}}{3} \theta + C$

$= \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan{\frac{x + 3}{\sqrt{3}}} + C$

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3. 最終的な答え

* 問題1: $\int \frac{1}{x^2 - 5x + 6} dx = \ln\left|\frac{x - 3}{x - 2}\right| + C$

* 問題2: $\int \frac{1}{x^2 + 6x + 12} dx = \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan{\frac{x + 3}{\sqrt{3}}} + C$