放物線 $y = 2x^2$ と直線 $y = 4$ で囲まれた領域と、直線と放物線に囲まれた三角形の面積を求める問題です。

## 問題1

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2$ と直線 $y = 4$ で囲まれた領域と、直線と放物線に囲まれた三角形の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、放物線と直線の交点を求めます。

$2x^2 = 4$ を解くと $x^2 = 2$ となり、$x = \pm \sqrt{2}$ となります。

したがって、三角形の底辺の長さは $2\sqrt{2}$ となります。

三角形の高さは、$y = 4$ なので、4です。

三角形の面積は、$S = \frac{1}{2} \times \text{底辺} \times \text{高さ}$ で求められます。

$S = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 4 = 4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$4\sqrt{2}$

## 問題2

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{3}{4}x^2$ と直線 $y = 9$ で囲まれた領域と、直線と放物線に囲まれた三角形の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、放物線と直線の交点を求めます。

$\frac{3}{4}x^2 = 9$ を解くと $x^2 = 12$ となり、$x = \pm 2\sqrt{3}$ となります。

x=-2の点とy=9の点の間の距離を求める必要があります。

三角形の底辺は直線$y=9$上にあり、$x=-2$ から $x=2\sqrt{3}$までなので、$2\sqrt{3}-(-2)=2\sqrt{3}+2$

三角形の高さは9です。

三角形の面積は、$S = \frac{1}{2} \times \text{底辺} \times \text{高さ}$ で求められます。

放物線上の点$x=-2$でのy座標は$y=\frac{3}{4}(-2)^2=3$

したがって、$y=3$から$y=9$までの高さなので、$9-3=6$

$S = \frac{1}{2} \times (2\sqrt{3}+2) \times 6 = 6\sqrt{3}+6$

3. 最終的な答え

$6\sqrt{3}+6$