連続な関数 $f(x)$ が積分方程式 $\int_a^x (x-t)f(t) dt = \cos(ax) - b$ を満たすとき、以下の問いに答えます。ただし、$a$ と $b$ は定数で、$0 < a < 2$ を満たします。 (1) 定数 $a$ と $b$ の値を求めます。 (2) 関数 $f(x)$ を求めます。 (3) $f(x)$ が最大値をとるときの $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

連続な関数 $f(x)$ が積分方程式 $\int_a^x (x-t)f(t) dt = \cos(ax) - b$ を満たすとき、以下の問いに答えます。ただし、$a$ と $b$ は定数で、$0 < a < 2$ を満たします。

(1) 定数 $a$ と $b$ の値を求めます。

(2) 関数 $f(x)$ を求めます。

(3) $f(x)$ が最大値をとるときの $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a$ と $b$ の値を求める。

まず、与えられた積分方程式 $\int_a^x (x-t)f(t) dt = \cos(ax) - b$ を考えます。

$x = a$ を代入すると、$\int_a^a (a-t)f(t) dt = 0$ となります。

したがって、$\cos(a^2) - b = 0$ より、 $b = \cos(a^2)$ が得られます。

次に、与えられた積分方程式の両辺を $x$ で微分します。

$\frac{d}{dx} \int_a^x (x-t)f(t) dt = \frac{d}{dx} (\cos(ax) - b)$

$\int_a^x f(t) dt + (x-x)f(x) = -a\sin(ax)$

$\int_a^x f(t) dt = -a\sin(ax)$

さらに、両辺を $x$ で微分します。

$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = \frac{d}{dx} (-a\sin(ax))$

$f(x) = -a^2\cos(ax)$

ここで、再び与えられた積分方程式 $\int_a^x (x-t)f(t) dt = \cos(ax) - b$ に $f(x) = -a^2\cos(ax)$ を代入します。

$\int_a^x (x-t)(-a^2\cos(at)) dt = \cos(ax) - b$

$-a^2 \int_a^x (x-t)\cos(at) dt = \cos(ax) - b$

部分積分を行います。

$\int_a^x (x-t)\cos(at) dt = \left[ (x-t)\frac{\sin(at)}{a} \right]_a^x - \int_a^x (-\frac{\sin(at)}{a})dt$

$= (x-x)\frac{\sin(ax)}{a} - (x-a)\frac{\sin(a^2)}{a} + \frac{1}{a}\int_a^x \sin(at) dt$

$= -(x-a)\frac{\sin(a^2)}{a} + \frac{1}{a} \left[ -\frac{\cos(at)}{a} \right]_a^x$

$= -(x-a)\frac{\sin(a^2)}{a} - \frac{\cos(ax)}{a^2} + \frac{\cos(a^2)}{a^2}$

したがって、

$-a^2\left[ -(x-a)\frac{\sin(a^2)}{a} - \frac{\cos(ax)}{a^2} + \frac{\cos(a^2)}{a^2} \right] = \cos(ax) - b$

$a(x-a)\sin(a^2) + \cos(ax) - \cos(a^2) = \cos(ax) - b$

$a(x-a)\sin(a^2) - \cos(a^2) = -b$

$a(x-a)\sin(a^2) = \cos(a^2) - b$

この式は任意の $x$ に対して成り立つ必要があります。特に、$x=a$ を代入すると、

$a(a-a)\sin(a^2) = \cos(a^2) - b$

$0 = \cos(a^2) - b$

これは既に求めた $b = \cos(a^2)$ と一致します。

$x$ の係数を比較すると、$\sin(a^2) = 0$ が必要です。

$a^2 = n\pi$, $n$ は整数。 $0 < a < 2$ より、 $0 < a^2 < 4$ であるため、$a^2 = \pi$ となります。

したがって、$a = \sqrt{\pi}$。このとき、$b = \cos(a^2) = \cos(\pi) = -1$.

(2) $f(x)$ を求める。

$f(x) = -a^2\cos(ax) = -\pi\cos(\sqrt{\pi}x)$.

(3) $f(x)$ が最大値をとるときの $x$ の値を求める。

$f(x) = -\pi\cos(\sqrt{\pi}x)$ が最大値をとるのは、$\cos(\sqrt{\pi}x) = -1$ のときです。

$\sqrt{\pi}x = (2n+1)\pi$, $n$ は整数。

$x = (2n+1)\sqrt{\pi}$, $n$ は整数。

3. 最終的な答え

(1) $a = \sqrt{\pi}$, $b = -1$

(2) $f(x) = -\pi\cos(\sqrt{\pi}x)$

(3) $x = (2n+1)\sqrt{\pi}$ ($n$ は整数)