実数全体 $R$ から $R$ への写像 $f(x)=x^2$ と、実数集合 $S_1 = \{x \in R | x \le 0\}$ が与えられています。 (1) $S_1$ の補集合 $S_1^c$ の像 $f(S_1^c)$ を求めます。 (2) $S_1$ の像 $f(S_1)$ の補集合 $(f(S_1))^c$ を求めます。

1. 問題の内容

実数全体 $R$ から $R$ への写像 $f(x)=x^2$ と、実数集合 $S_1 = \{x \in R | x \le 0\}$ が与えられています。

(1) $S_1$ の補集合 $S_1^c$ の像 $f(S_1^c)$ を求めます。

(2) $S_1$ の像 $f(S_1)$ の補集合 $(f(S_1))^c$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$S_1^c$ を求めます。$S_1$ は0以下の実数全体なので、$S_1^c$ は0より大きい実数全体、つまり、$S_1^c = \{x \in R | x > 0\}$ です。

次に、$f(S_1^c)$ を求めます。$S_1^c$ の要素 $x$ に対して、$f(x) = x^2$ なので、$f(S_1^c)$ は、$x > 0$ を満たす $x$ についての $x^2$ 全体です。$x>0$ ならば $x^2>0$ であり、任意の正の実数 $y$ に対して、$x = \sqrt{y}$ とすれば $x>0$ かつ $x^2=y$ となります。したがって、$f(S_1^c) = \{y \in R | y > 0\}$ です。

(2)

まず、$f(S_1)$ を求めます。$S_1$ は0以下の実数全体なので、$S_1 = \{x \in R | x \le 0\}$ です。$S_1$ の要素 $x$ に対して、$f(x) = x^2$ なので、$f(S_1)$ は、$x \le 0$ を満たす $x$ についての $x^2$ 全体です。$x \le 0$ ならば $x^2 \ge 0$ であり、$x=0$ のとき $x^2=0$ となり、負の数 $x$ に対して $x^2>0$ となります。したがって、$f(S_1) = \{y \in R | y \ge 0\}$ です。

次に、$(f(S_1))^c$ を求めます。$(f(S_1))$ は0以上の実数全体なので、$(f(S_1))^c$ は0より小さい実数全体、つまり、$(f(S_1))^c = \{y \in R | y < 0\}$ です。

3. 最終的な答え

(1)

正解: $f(S_1^c) = \{x \in R | x > 0\}$

その理由: $S_1^c = \{x \in R | x > 0\}$ であり、$x > 0$ ならば $f(x) = x^2 > 0$ であり、任意の $y > 0$ に対して $x = \sqrt{y}$ とおくと $x > 0$ かつ $f(x) = y$ となるから。

(2)

正解: $(f(S_1))^c = \{x \in R | x < 0\}$

その理由: $f(S_1) = \{x \in R | x \ge 0\}$ であり、$f(S_1)$ の補集合は0より小さい実数全体だから。