与えられた極限値を求める問題です。具体的には、 $\lim_{n \to \infty} \log \left\{ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{\frac{1}{n}} \cdots \left(1 + \frac{n}{n}\right)^{\frac{1}{n}} \right\}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた極限値を求める問題です。具体的には、

$\lim_{n \to \infty} \log \left\{ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{\frac{1}{n}} \cdots \left(1 + \frac{n}{n}\right)^{\frac{1}{n}} \right\}$

を計算します。

2. 解き方の手順

(1) 対数法則を用いて積を和に変換します。

$\log \left\{ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{\frac{1}{n}} \cdots \left(1 + \frac{n}{n}\right)^{\frac{1}{n}} \right\} = \sum_{k=1}^n \log \left( \left(1 + \frac{k}{n}\right)^{\frac{1}{n}} \right)$

(2) 指数の性質を利用して、$\log$ の中にある指数を前に出します。

$\sum_{k=1}^n \log \left( \left(1 + \frac{k}{n}\right)^{\frac{1}{n}} \right) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \log \left(1 + \frac{k}{n}\right)$

(3) これはリーマン和の形になっているので、定積分に変換します。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \log \left(1 + \frac{k}{n}\right) = \int_0^1 \log(1 + x) \, dx$

(4) 部分積分を用いて定積分を計算します。

$I = \int_0^1 \log(1 + x) \, dx$

$u = \log(1 + x)$, $dv = dx$ とおくと、$du = \frac{1}{1 + x} \, dx$, $v = x$ なので、

$I = \left[ x \log(1 + x) \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{1 + x} \, dx = \log 2 - \int_0^1 \frac{x + 1 - 1}{1 + x} \, dx = \log 2 - \int_0^1 \left( 1 - \frac{1}{1 + x} \right) \, dx$

$I = \log 2 - \left[ x - \log(1 + x) \right]_0^1 = \log 2 - (1 - \log 2) = 2 \log 2 - 1 = \log 4 - 1 = \log 4 - \log e = \log \frac{4}{e}$

3. 最終的な答え

$\log 4 - 1$

または、

$\log (4/e)$