$\lim_{n\to\infty} \log\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{\frac{1}{n}}\cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)^{\frac{1}{n}}\right\}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{n\to\infty} \log\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{\frac{1}{n}}\cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)^{\frac{1}{n}}\right\}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して積を和に変換します。

$\log(a_1 a_2 \dots a_n) = \log a_1 + \log a_2 + \dots + \log a_n$

したがって、問題の式は以下のようになります。

$\lim_{n\to\infty} \log\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{\frac{1}{n}}\cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)^{\frac{1}{n}}\right\} = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \log\left(\left(1+\frac{k}{n}\right)^{\frac{1}{n}}\right)$

次に、対数の性質 $\log(a^b) = b \log(a)$ を利用します。

$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \log\left(\left(1+\frac{k}{n}\right)^{\frac{1}{n}}\right) = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \log\left(1+\frac{k}{n}\right)$

これはリーマン和の形をしているため、積分に変換できます。

$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \log\left(1+\frac{k}{n}\right) = \int_{0}^{1} \log(1+x) dx$

部分積分を使って積分を計算します。

$u = \log(1+x)$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x}dx$, $v = x$ となります。

$\int_{0}^{1} \log(1+x) dx = \left[x \log(1+x)\right]_0^1 - \int_{0}^{1} \frac{x}{1+x} dx = \log(2) - \int_{0}^{1} \frac{x+1-1}{1+x} dx = \log(2) - \int_{0}^{1} \left(1 - \frac{1}{1+x}\right) dx$

$= \log(2) - \left[x - \log(1+x)\right]_0^1 = \log(2) - (1 - \log(2)) = 2\log(2) - 1 = \log(4) - 1 = \log(4) - \log(e) = \log\left(\frac{4}{e}\right)$

3. 最終的な答え

$\log\left(\frac{4}{e}\right)$