与えられた極限の値を求める問題です。 $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} \int_2^x \sqrt{t^2 + 4} dt$

1. 問題の内容

与えられた極限の値を求める問題です。

$\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} \int_2^x \sqrt{t^2 + 4} dt$

2. 解き方の手順

この極限は不定形 $\frac{0}{0}$ の形なので、ロピタルの定理を利用します。

まず、$\int_2^x \sqrt{t^2 + 4} dt$ を $F(x)$ とおくと、$F(2) = 0$ です。

したがって、

$\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} \int_2^x \sqrt{t^2 + 4} dt = \lim_{x \to 2} \frac{F(x)}{x-2}$

ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to 2} \frac{F'(x)}{1}$

ここで、微積分学の基本定理より、$F'(x) = \sqrt{x^2 + 4}$ です。

したがって、

$\lim_{x \to 2} \sqrt{x^2 + 4} = \sqrt{2^2 + 4} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2}$