以下の3つの積分を計算します。 (1) $\int_0^3 \int_{\sqrt{3y}}^3 e^{x^6} y \, dy \, dx$ (2) $\iint_D \sqrt{x^2+y^2} \, dz \, dy$, ここで $D = \{(x,y) \mid 1 \le x^2 + y^2 \le 4, x \ge 0, y \ge 0\}$ (3) $\iiint_D dz \, dy \, dx$, ここで $D = \{(x,y,z) \mid x^2 + y^2 \le x, z^2 \le 4x\}$

1. 問題の内容

以下の3つの積分を計算します。

(1) $\int_0^3 \int_{\sqrt{3y}}^3 e^{x^6} y \, dy \, dx$

(2) $\iint_D \sqrt{x^2+y^2} \, dz \, dy$, ここで $D = \{(x,y) \mid 1 \le x^2 + y^2 \le 4, x \ge 0, y \ge 0\}$

(3) $\iiint_D dz \, dy \, dx$, ここで $D = \{(x,y,z) \mid x^2 + y^2 \le x, z^2 \le 4x\}$

2. 解き方の手順

(1) 積分の順序を変更します。積分範囲は $0 \le y \le 3$, $\sqrt{3y} \le x \le 3$ なので、$x$の範囲は$0 \le x \le 3$、$y$の範囲は$0 \le y \le x^2/3$です。

よって、

$$\int_0^3 \int_{\sqrt{3y}}^3 e^{x^6} y \, dy \, dx = \int_0^3 \int_0^{x^2/3} e^{x^6} y \, dy \, dx$$

内側の積分を計算します。

$$\int_0^{x^2/3} e^{x^6} y \, dy = e^{x^6} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^{x^2/3} = e^{x^6} \frac{x^4}{18}$$

したがって、

$$\int_0^3 \int_0^{x^2/3} e^{x^6} y \, dy \, dx = \int_0^3 e^{x^6} \frac{x^4}{18} \, dx$$

$u = x^6$と置換すると、$du = 6x^5 \, dx$です。積分は少し違っているので$x^4$を取り出す必要があり、困難です。

順序を入れ替える前の積分から計算ミスがあったようです。

$0 \le y \le 3$において$\sqrt{3y} \le x \le 3$なので、$3y \le x^2 \le 9$となり、$y \le 3$を満たします。

積分の順序を入れ替えると、$0 \le x \le 3$において$0 \le y \le x^2/3$となります。

$$\int_0^3 \int_{\sqrt{3y}}^3 e^{x^6} y \, dy \, dx = \int_0^3 \int_0^{x^2/3} e^{x^6} y \, dy \, dx$$

内側の積分は

$$\int_0^{x^2/3} y e^{x^6} \, dy = e^{x^6} \left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{x^2/3} = \frac{x^4}{18} e^{x^6}$$

したがって、

$$\int_0^3 \frac{x^4}{18} e^{x^6} \, dx$$

$u = x^6$とすると、$du = 6x^5 dx$なので計算が困難です。元の問題の書き間違いかもしれません。

(2) 積分領域 $D$ は、中心が原点で半径が1と2の円の間で、第一象限にある部分です。極座標 $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ を使うと、 $1 \le r \le 2$, $0 \le \theta \le \pi/2$ です。また、$x^2 + y^2 = r^2$ となります。$dz dy = r dr d\theta$ ではありません。

$\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{r^2}=r$となるため、

$$\iint_D \sqrt{x^2+y^2} \, dz \, dy = \int_1^2 \int_0^{\pi/2} r \, r \, d\theta \, dr = \int_1^2 \int_0^{\pi/2} r^2 \, d\theta \, dr$$

内側の積分を計算します。

$$\int_0^{\pi/2} r^2 d\theta = r^2 \left[\theta\right]_0^{\pi/2} = r^2 \frac{\pi}{2}$$

外側の積分を計算します。

$$\int_1^2 r^2 \frac{\pi}{2} dr = \frac{\pi}{2} \left[\frac{r^3}{3}\right]_1^2 = \frac{\pi}{2} \left(\frac{8}{3} - \frac{1}{3}\right) = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{7}{3} = \frac{7\pi}{6}$$

(3) 積分領域 $D$ は、$x^2 + y^2 \le x$ かつ $z^2 \le 4x$ を満たす領域です。

$x^2+y^2 \le x$ は、$(x-1/2)^2 + y^2 \le (1/2)^2$ と書き換えられるので、中心が$(1/2, 0)$で半径が$1/2$の円の内部になります。

$z^2 \le 4x$ より、$-\sqrt{4x} \le z \le \sqrt{4x}$。つまり $-2\sqrt{x} \le z \le 2\sqrt{x}$となります。

$$\iiint_D dz \, dy \, dx = \iint_{x^2+y^2 \le x} \int_{-2\sqrt{x}}^{2\sqrt{x}} dz \, dy \, dx$$

内側の積分は、

$$\int_{-2\sqrt{x}}^{2\sqrt{x}} dz = 2\sqrt{x} - (-2\sqrt{x}) = 4\sqrt{x}$$

次に、$x^2+y^2 \le x$の範囲で積分を行います。この領域は円板で、極座標系に変換すると、$x = r \cos \theta, y = r \sin \theta$であり、$x^2+y^2 \le x$は、$r^2 \le r \cos \theta$となります。したがって、$0 \le r \le \cos \theta$で、$\theta$の範囲は$-\pi/2 \le \theta \le \pi/2$です。

$$\iint_{x^2+y^2 \le x} 4\sqrt{x} \, dy \, dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^{\cos\theta} 4\sqrt{r \cos \theta} \, r \, dr \, d\theta$$

積分は、

$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^{\cos\theta} 4\sqrt{\cos \theta} r^{3/2} \, dr \, d\theta$$

内側の積分は、

$$\int_0^{\cos \theta} 4\sqrt{\cos \theta} r^{3/2} \, dr = 4\sqrt{\cos \theta} \left[ \frac{2}{5} r^{5/2} \right]_0^{\cos \theta} = \frac{8}{5} \sqrt{\cos \theta} (\cos \theta)^{5/2} = \frac{8}{5} \cos^3 \theta$$

外側の積分は、

$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{8}{5} \cos^3 \theta \, d\theta = \frac{8}{5} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^3 \theta \, d\theta$$

$\cos^3 \theta = \cos \theta (1 - \sin^2 \theta)$なので、

$$\frac{8}{5} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos \theta (1 - \sin^2 \theta) \, d\theta = \frac{8}{5} \left[ \sin \theta - \frac{\sin^3 \theta}{3} \right]_{-\pi/2}^{\pi/2}$$

$$= \frac{8}{5} \left[ (1 - \frac{1}{3}) - (-1 - \frac{-1}{3}) \right] = \frac{8}{5} \left[ \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) \right] = \frac{8}{5} \cdot \frac{4}{3} = \frac{32}{15}$$

3. 最終的な答え

(1) 解けない

(2) $\frac{7\pi}{6}$

(3) $\frac{32}{15}$