方程式 $\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x - k = 0$ の実数解の個数が、$k$ の値によってどのように変化するかを、増減表とグラフを用いて説明する問題です。

1. 問題の内容

方程式 $\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x - k = 0$ の実数解の個数が、$k$ の値によってどのように変化するかを、増減表とグラフを用いて説明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を $k$ について解きます。

$\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x = k$

次に、$f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x$ とおき、$f(x)$ の増減を調べます。

$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = x^2 + 2x - 3$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$x^2 + 2x - 3 = 0$

$(x + 3)(x - 1) = 0$

$x = -3, 1$

$x = -3$ と $x = 1$ で $f'(x)$ の符号が変わるので、$x = -3$ と $x = 1$ は極値を取る点です。増減表を作成します。

| x | ... | -3 | ... | 1 | ... |

|----|------|----|-----|----|-----|

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

$f(-3) = \frac{1}{3}(-3)^3 + (-3)^2 - 3(-3) = -9 + 9 + 9 = 9$

$f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 + (1)^2 - 3(1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 = \frac{1}{3} - 2 = -\frac{5}{3}$

$f(x)$ のグラフを描きます。グラフは、$x = -3$ で極大値 $9$ をとり、$x = 1$ で極小値 $-\frac{5}{3}$ をとる3次関数です。

方程式 $\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x - k = 0$ の実数解の個数は、$y = f(x)$ のグラフと $y = k$ のグラフの交点の個数に等しくなります。

グラフと横軸 $y = k$ の交点の個数を調べます。

- $k < -\frac{5}{3}$ のとき、実数解は1個

- $k = -\frac{5}{3}$ のとき、実数解は2個

- $-\frac{5}{3} < k < 9$ のとき、実数解は3個

- $k = 9$ のとき、実数解は2個

- $k > 9$ のとき、実数解は1個

3. 最終的な答え

- $k < -\frac{5}{3}$ のとき、実数解は1個

- $k = -\frac{5}{3}$ のとき、実数解は2個

- $-\frac{5}{3} < k < 9$ のとき、実数解は3個

- $k = 9$ のとき、実数解は2個

- $k > 9$ のとき、実数解は1個