$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の三角関数の方程式と不等式を解く。 (1) $\sin \theta = -\frac{1}{2}$ (2) $\tan \theta < 1$ (3) $\frac{1}{2} \le \cos \theta \le \frac{\sqrt{3}}{2}$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の三角関数の方程式と不等式を解く。

(1) $\sin \theta = -\frac{1}{2}$

(2) $\tan \theta < 1$

(3) $\frac{1}{2} \le \cos \theta \le \frac{\sqrt{3}}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = -\frac{1}{2}$

$\sin \theta$ の値が $-\frac{1}{2}$ となる角度 $\theta$ を単位円上で探す。

$\sin \theta$ は $y$ 座標に対応するので、$y = -\frac{1}{2}$ となる点を考える。

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$\theta = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$ となる。

(2) $\tan \theta < 1$

$\tan \theta$ は単位円上の点 $(x, y)$ に対して $\tan \theta = \frac{y}{x}$ で定義される。

$\tan \theta = 1$ となるのは、$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5}{4}\pi$。

$0 \le \theta < 2\pi$ において、$0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{5}{4}\pi$, $\frac{3}{2}\pi < \theta < 2\pi$の範囲で $\tan \theta < 1$ が成立する。

$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi$ は $\tan \theta$ が定義されないため、除外する。

(3) $\frac{1}{2} \le \cos \theta \le \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \theta$ は $x$ 座標に対応するので、$x$ が $\frac{1}{2}$ 以上 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 以下となる角度 $\theta$ を単位円上で探す。

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ となるのは $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5}{3}\pi$ であり、$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{11}{6}\pi$。

$\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{\pi}{3}$ および $\frac{5}{3}\pi \le \theta \le \frac{11}{6}\pi$。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$

(2) $0 \le \theta < \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{5}{4}\pi, \frac{3}{2}\pi < \theta < 2\pi$

(3) $\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{\pi}{3}, \frac{5}{3}\pi \le \theta \le \frac{11}{6}\pi$