$|sinx| < 1$ のとき、$y = \log \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}$ の導関数 $y'$ を求め、$\frac{\Box}{\cos x}$ の形式で表す。

1. 問題の内容

$|sinx| < 1$ のとき、$y = \log \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}$ の導関数 $y'$ を求め、$\frac{\Box}{\cos x}$ の形式で表す。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を微分します。合成関数の微分法と商の微分法を使用します。

$y = \log \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}$ を微分するために、まず $\log$ の微分を適用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \right)$

次に、$\frac{d}{dx} \left( \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \right)$ を計算します。商の微分法を用います。

$\frac{d}{dx} \left( \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \right) = \frac{(\cos x)(1 - \sin x) - (1 + \sin x)(-\cos x)}{(1 - \sin x)^2}$

$= \frac{\cos x - \sin x \cos x + \cos x + \sin x \cos x}{(1 - \sin x)^2}$

$= \frac{2 \cos x}{(1 - \sin x)^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x} \cdot \frac{2 \cos x}{(1 - \sin x)^2} = \frac{2 \cos x}{(1 + \sin x)(1 - \sin x)}$

$= \frac{2 \cos x}{1 - \sin^2 x} = \frac{2 \cos x}{\cos^2 x} = \frac{2}{\cos x}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{2}{\cos x}$