関数 $f(x) = x^2 e^{-x}$ の極大点の座標と極小点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 e^{-x}$ の極大点の座標と極小点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

1. 関数 $f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求める。

積の微分法を用いて、$f'(x) = (x^2)'e^{-x} + x^2(e^{-x})' = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} = e^{-x}(2x-x^2)$。

2. $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$f'(x) = e^{-x}(2x - x^2) = 0$。$e^{-x}$は常に正なので、$2x-x^2 = x(2-x) = 0$ となる $x$ を求める。

よって、$x=0, 2$。

3. $f'(x)$ の符号の変化を調べる。

- $x<0$ のとき、$f'(x) = e^{-x}x(2-x) < 0$。

- $0<x<2$ のとき、$f'(x) = e^{-x}x(2-x) > 0$。

- $x>2$ のとき、$f'(x) = e^{-x}x(2-x) < 0$。

4. 増減表を作成する。

| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |

| :----- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | 減少 | f(0) | 増加 | f(2) | 減少 |

5. 極大値と極小値を求める。

- $x=0$ のとき、$f(0) = 0^2 e^{-0} = 0$。$x=0$で極小値0をとる。

- $x=2$ のとき、$f(2) = 2^2 e^{-2} = 4e^{-2}$。$x=2$で極大値$4e^{-2}$をとる。

6. 極大点の座標と極小点の座標を求める。

- 極大点の座標は $(2, 4e^{-2})$。

- 極小点の座標は $(0, 0)$。

3. 最終的な答え

極大点の座標は $(2, 4e^{-2})$。

極小点の座標は $(0, 0)$。