(1) $f(x) = \cos 2x$ をマクローリン展開し、0でない最初の3項を求める。 (2) $f(x) = \sqrt{1+2x}$ をマクローリン展開し、$x^2$ の項まで求める。 (3) (2)で得られた式を利用して、$\sqrt{1.02}$ の近似値を小数で表す。

1. 問題の内容

(1) $f(x) = \cos 2x$ をマクローリン展開し、0でない最初の3項を求める。

(2) $f(x) = \sqrt{1+2x}$ をマクローリン展開し、$x^2$ の項まで求める。

(3) (2)で得られた式を利用して、$\sqrt{1.02}$ の近似値を小数で表す。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \cos 2x$ のマクローリン展開を求める。

マクローリン展開は、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4 + \cdots$

である。

$f(x) = \cos 2x$

$f(0) = \cos 0 = 1$

$f'(x) = -2\sin 2x$

$f'(0) = -2\sin 0 = 0$

$f''(x) = -4\cos 2x$

$f''(0) = -4\cos 0 = -4$

$f'''(x) = 8\sin 2x$

$f'''(0) = 8\sin 0 = 0$

$f''''(x) = 16\cos 2x$

$f''''(0) = 16\cos 0 = 16$

$f'''''(x) = -32\sin 2x$

$f'''''(0) = -32\sin 0 = 0$

$f''''''(x) = -64\cos 2x$

$f''''''(0) = -64\cos 0 = -64$

したがって、

$f(x) = 1 + 0x + \frac{-4}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{16}{4!}x^4 + \frac{0}{5!}x^5 + \frac{-64}{6!}x^6 + \cdots$

$= 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \frac{4}{45}x^6 + \cdots$

求める0でない最初の3項は、$1$, $-2x^2$, $\frac{2}{3}x^4$

(2) $f(x) = \sqrt{1+2x}$ のマクローリン展開を求める。

$f(x) = (1+2x)^{1/2}$

$f(0) = (1+0)^{1/2} = 1$

$f'(x) = \frac{1}{2}(1+2x)^{-1/2} \cdot 2 = (1+2x)^{-1/2}$

$f'(0) = (1+0)^{-1/2} = 1$

$f''(x) = -\frac{1}{2}(1+2x)^{-3/2} \cdot 2 = -(1+2x)^{-3/2}$

$f''(0) = -(1+0)^{-3/2} = -1$

したがって、

$f(x) = 1 + 1x + \frac{-1}{2!}x^2 + \cdots$

$= 1 + x - \frac{1}{2}x^2 + \cdots$

求める$x^2$の項までのマクローリン展開は、$1 + x - \frac{1}{2}x^2$

(3) (2)で得られた式を利用して、$\sqrt{1.02}$の近似値を求める。

$\sqrt{1.02} = \sqrt{1+2x}$ より、$1.02 = 1+2x$

$2x = 0.02$

$x = 0.01$

(2)で求めた式に$x = 0.01$を代入する。

$1 + x - \frac{1}{2}x^2 = 1 + 0.01 - \frac{1}{2}(0.01)^2 = 1.01 - \frac{1}{2}(0.0001) = 1.01 - 0.00005 = 1.00995$

3. 最終的な答え

(1) $1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4$

(2) $1 + x - \frac{1}{2}x^2$

(3) $1.00995$