(1) $\int_{-1}^{0} \frac{x^3+11}{(x-1)^2(x+3)}dx$ を計算する。 (2) $\int_{1}^{3} \frac{\sqrt{x+1}}{x}dx$ を計算する。

はい、承知いたしました。定積分の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) $\int_{-1}^{0} \frac{x^3+11}{(x-1)^2(x+3)}dx$ を計算する。

(2) $\int_{1}^{3} \frac{\sqrt{x+1}}{x}dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) 部分分数分解を用いる。

被積分関数を部分分数分解すると

$\frac{x^3+11}{(x-1)^2(x+3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+3}$

となる。両辺に$(x-1)^2(x+3)$を掛けると

$x^3+11 = A(x-1)(x+3) + B(x+3) + C(x-1)^2$

となる。

$x=1$のとき$12 = 4B$より$B=3$。

$x=-3$のとき$-27+11 = 16C$より$-16 = 16C$なので$C=-1$。

$x=0$のとき$11 = -3A + 3B + C = -3A + 9 - 1$より$-3A = 3$なので$A=-1$。

したがって

$\frac{x^3+11}{(x-1)^2(x+3)} = \frac{-1}{x-1} + \frac{3}{(x-1)^2} + \frac{-1}{x+3}$

となる。積分すると

$\int \frac{x^3+11}{(x-1)^2(x+3)}dx = -\log|x-1| - \frac{3}{x-1} - \log|x+3| + C$

したがって

$\int_{-1}^{0} \frac{x^3+11}{(x-1)^2(x+3)}dx = [-\log|x-1| - \frac{3}{x-1} - \log|x+3|]_{-1}^{0} = [-\log(1) - \frac{3}{-1} - \log(3)] - [-\log(2) - \frac{3}{-2} - \log(2)] = 3 - \log(3) - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} - \log(3)$

(2) $t = \sqrt{x+1}$とおくと、$t^2 = x+1$より$x = t^2-1$、$dx = 2t dt$となる。

また、$x=1$のとき$t = \sqrt{2}$、$x=3$のとき$t=2$。

したがって

$\int_{1}^{3} \frac{\sqrt{x+1}}{x}dx = \int_{\sqrt{2}}^{2} \frac{t}{t^2-1} 2t dt = 2\int_{\sqrt{2}}^{2} \frac{t^2}{t^2-1} dt = 2\int_{\sqrt{2}}^{2} \frac{t^2-1+1}{t^2-1} dt = 2\int_{\sqrt{2}}^{2} (1+\frac{1}{t^2-1}) dt = 2\int_{\sqrt{2}}^{2} (1+\frac{1}{2}(\frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1})) dt = 2[t + \frac{1}{2}(\log|t-1| - \log|t+1|)]_{\sqrt{2}}^{2} = 2[t + \frac{1}{2}\log|\frac{t-1}{t+1}|]_{\sqrt{2}}^{2} = 2[(2 + \frac{1}{2}\log(\frac{1}{3})) - (\sqrt{2} + \frac{1}{2}\log(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}))] = 2[2 - \sqrt{2} + \frac{1}{2}\log(\frac{1}{3}) - \frac{1}{2}\log(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1})] = 4 - 2\sqrt{2} + \log(\frac{1}{3}) - \log(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}) = 4 - 2\sqrt{2} - \log(3) - \log((\sqrt{2}-1)^2) = 4 - 2\sqrt{2} - \log(3) - 2\log(\sqrt{2}-1)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{2} - \log(3)$

(2) $4 - 2\sqrt{2} - \log(3) - 2\log(\sqrt{2}-1)$