## 解答

## 解答

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1. 問題の内容

1. 関数 $f(x) = \frac{x-a}{x^2 + a^2}$ (ただし $a>0$) の最大値と最小値の差が $1$ となるように、定数 $a$ の値を定める。

2. $a$ を正の定数とするとき、 $x$ の方程式 $\frac{1}{x} = a^x$ の異なる実数解の個数を調べる。

3. 平均値の定理を用いて、不等式 $|\cos x - \cos y| \leq |x-y|$ を証明する。

4. 時刻 $t \geq 0$ における体積 $V$ が関数 $V = 12\pi(t+2)$ で与えられる球がある。この球の時刻 $t=1$ における、半径 $r$ の増大する速さ、および表面積 $S$ の増大する速さを求める。

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2. 解き方の手順

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1. 関数 $f(x)$ の最大値と最小値

関数 $f(x) = \frac{x-a}{x^2 + a^2}$ の最大値と最小値を求めるために、まず微分します。

$f'(x) = \frac{(x^2+a^2) - (x-a)(2x)}{(x^2+a^2)^2} = \frac{x^2 + a^2 - 2x^2 + 2ax}{(x^2+a^2)^2} = \frac{-x^2 + 2ax + a^2}{(x^2+a^2)^2}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-x^2 + 2ax + a^2 = 0$

$x^2 - 2ax - a^2 = 0$

$x = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 + 4a^2}}{2} = \frac{2a \pm \sqrt{8a^2}}{2} = \frac{2a \pm 2\sqrt{2}a}{2} = a \pm \sqrt{2}a = (1 \pm \sqrt{2})a$

$x_1 = (1-\sqrt{2})a$ と $x_2 = (1+\sqrt{2})a$ で $f(x)$ は極値を持ちます。$x_1 < x_2$です。

$f(x_1) = f((1-\sqrt{2})a) = \frac{(1-\sqrt{2})a - a}{((1-\sqrt{2})a)^2 + a^2} = \frac{-\sqrt{2}a}{(1-2\sqrt{2}+2)a^2 + a^2} = \frac{-\sqrt{2}a}{(4-2\sqrt{2})a^2} = \frac{-\sqrt{2}}{(4-2\sqrt{2})a} = \frac{-\sqrt{2}}{2(2-\sqrt{2})a} = \frac{-\sqrt{2}(2+\sqrt{2})}{2(4-2)a} = \frac{-2\sqrt{2}-2}{4a} = \frac{-\sqrt{2}-1}{2a}$.

$f(x_2) = f((1+\sqrt{2})a) = \frac{(1+\sqrt{2})a - a}{((1+\sqrt{2})a)^2 + a^2} = \frac{\sqrt{2}a}{(1+2\sqrt{2}+2)a^2 + a^2} = \frac{\sqrt{2}a}{(4+2\sqrt{2})a^2} = \frac{\sqrt{2}}{(4+2\sqrt{2})a} = \frac{\sqrt{2}}{2(2+\sqrt{2})a} = \frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{2})}{2(4-2)a} = \frac{2\sqrt{2}-2}{4a} = \frac{\sqrt{2}-1}{2a}$.

$f(x_2)$ は最大値、$f(x_1)$ は最小値です。

最大値と最小値の差が $1$ であるから、

$f(x_2) - f(x_1) = \frac{\sqrt{2}-1}{2a} - \frac{-\sqrt{2}-1}{2a} = \frac{\sqrt{2}-1 + \sqrt{2}+1}{2a} = \frac{2\sqrt{2}}{2a} = \frac{\sqrt{2}}{a} = 1$

よって $a = \sqrt{2}$.

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2. 方程式 $\frac{1}{x} = a^x$ の実数解の個数

$y = \frac{1}{x}$ と $y = a^x$ のグラフの交点の個数を調べる。

グラフを描いて考えます。$y = \frac{1}{x}$ は双曲線で、$y = a^x$ は指数関数。

$a > 0$なので、 $a^x$ は常に正の値を取ります。

$x>0$のとき、$y = \frac{1}{x}$ は単調減少、$y = a^x$ も単調増加または単調減少なので、交点は高々1つ。

$x<0$のとき、$y = \frac{1}{x}$ は単調増加で、$y = a^x$ は単調増加または単調減少なので、交点は高々1つ。

$a=1$のとき、$y = 1^x = 1$ なので、$x=1$に1つだけ。

$a>1$のとき、$y = a^x$ は単調増加。

$0<a<1$のとき、$y = a^x$ は単調減少。

$x$ が大きくなるほど $a^x$ は小さくなるので、 $x < 0$ の領域で交点を持つ可能性が高い。

$g(x) = \frac{1}{x} - a^x$ とおくと、$g'(x) = -\frac{1}{x^2} - a^x \ln a$

$g'(x)$ は常に負なので、$g(x)$ は単調減少。

したがって、$g(x) = 0$ となる $x$ は高々1つ。

$x < 0$ で $g(x) = 0$ となる $x$ が存在するかどうかを調べます。

$x \to -\infty$ のとき、$a^x \to 0$ なので、$g(x) \to 0$。

この問題は、実数解の個数を具体的に求めるのは難しい。グラフを描画して、$y = \frac{1}{x}$ と $y = a^x$ の交点を考えるのが良い。交点の個数は、おそらく1つとなる。

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3. 平均値の定理による不等式の証明

平均値の定理より、ある $c$ が $x$ と $y$ の間に存在して、

$\frac{\cos x - \cos y}{x-y} = -\sin c$

したがって、

$\cos x - \cos y = -(x-y)\sin c$

両辺の絶対値を取ると、

$|\cos x - \cos y| = |x-y| |\sin c|$

$|\sin c| \leq 1$ であるから、

$|\cos x - \cos y| \leq |x-y|$

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4. 球の半径と表面積の増大速度

$V = \frac{4}{3}\pi r^3 = 12\pi(t+2)$

$r^3 = 9(t+2)$

$r = \sqrt[3]{9(t+2)}$

$r'(t) = \frac{1}{3}(9(t+2))^{-2/3} \cdot 9 = 3(9(t+2))^{-2/3} = \frac{3}{\sqrt[3]{(9(t+2))^2}}$

$t=1$ のとき、

$r'(1) = \frac{3}{\sqrt[3]{(9(1+2))^2}} = \frac{3}{\sqrt[3]{(27)^2}} = \frac{3}{\sqrt[3]{729}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

$S = 4\pi r^2 = 4\pi (9(t+2))^{2/3}$

$S'(t) = 4\pi \cdot \frac{2}{3} (9(t+2))^{-1/3} \cdot 9 = 24\pi (9(t+2))^{-1/3}$

$t=1$ のとき、

$S'(1) = 24\pi (9(1+2))^{-1/3} = 24\pi (27)^{-1/3} = 24\pi \cdot \frac{1}{3} = 8\pi$

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3. 最終的な答え

1. $a = \sqrt{2}$

2. 方程式 $\frac{1}{x} = a^x$ の異なる実数解の個数は1個

3. （証明は上記参照）

4. 半径 $r$ の増大する速さは $\frac{1}{3}$、表面積 $S$ の増大する速さは $8\pi$