領域 $D$ 上の2重積分 $\iint_D f(x, y) \, dxdy$ を2通りの累次積分で表す問題です。領域 $D$ は (1) と (2) の2つの場合に与えられています。

1. 問題の内容

領域 $D$ 上の2重積分 $\iint_D f(x, y) \, dxdy$ を2通りの累次積分で表す問題です。領域 $D$ は (1) と (2) の2つの場合に与えられています。

2. 解き方の手順

(1) の場合

領域 $D$ は $x = -3$ から $x = 0$ まで、かつ $y = 0$ から $y = 3$ までで定義されます。ただし、$x$ と $y$ の間には $y \le x + 3$ という条件があります。

まず、$x$ で積分してから $y$ で積分する場合を考えます。

$x$ の範囲は、$y$ が与えられたとき、$x$ は $-3$ から $y-3$ まで動きます。$y$ の範囲は $0$ から $3$ までです。したがって、

$$\iint_D f(x, y) \, dxdy = \int_0^3 \int_{-3}^{y-3} f(x, y) \, dxdy$$

次に、$y$ で積分してから $x$ で積分する場合を考えます。

$y$ の範囲は、$x$ が与えられたとき、$y$ は $0$ から $x+3$ まで動きます。$x$ の範囲は $-3$ から $0$ までです。したがって、

$$\iint_D f(x, y) \, dxdy = \int_{-3}^0 \int_0^{x+3} f(x, y) \, dydx$$

(2) の場合

領域 $D$ は $x = -4$ から $x = 0$ まで、かつ $y = 0$ から $y = 4$ までで定義されます。ただし、$x$ と $y$ の間には $y \le x + 4$ という条件があります。

まず、$x$ で積分してから $y$ で積分する場合を考えます。

$x$ の範囲は、$y$ が与えられたとき、$x$ は $-4$ から $y-4$ まで動きます。$y$ の範囲は $0$ から $4$ までです。したがって、

$$\iint_D f(x, y) \, dxdy = \int_0^4 \int_{-4}^{y-4} f(x, y) \, dxdy$$

次に、$y$ で積分してから $x$ で積分する場合を考えます。

$y$ の範囲は、$x$ が与えられたとき、$y$ は $0$ から $x+4$ まで動きます。$x$ の範囲は $-4$ から $0$ までです。したがって、

$$\iint_D f(x, y) \, dxdy = \int_{-4}^0 \int_0^{x+4} f(x, y) \, dydx$$

3. 最終的な答え

(1) の場合：

$\iint_D f(x, y) \, dxdy = \int_0^3 \int_{-3}^{y-3} f(x, y) \, dxdy = \int_{-3}^0 \int_0^{x+3} f(x, y) \, dydx$

(2) の場合：

$\iint_D f(x, y) \, dxdy = \int_0^4 \int_{-4}^{y-4} f(x, y) \, dxdy = \int_{-4}^0 \int_0^{x+4} f(x, y) \, dydx$