$|sinx|<1$ のとき、$y = \log \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。ただし、$y' = \frac{\text{オ}}{\cos x}$ の形で表すときの $\text{オ}$ に入るべきものを答えます。

1. 問題の内容

$|sinx|<1$ のとき、$y = \log \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。ただし、$y' = \frac{\text{オ}}{\cos x}$ の形で表すときの $\text{オ}$ に入るべきものを答えます。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を微分するために、対数の性質と合成関数の微分法を使います。

対数の性質より、

$$y = \log (1 + \sin x) - \log (1 - \sin x)$$

次に、各項を微分します。

$$\frac{d}{dx} \log(1 + \sin x) = \frac{\cos x}{1 + \sin x}$$

$$\frac{d}{dx} \log(1 - \sin x) = \frac{-\cos x}{1 - \sin x}$$

したがって、

$$y' = \frac{\cos x}{1 + \sin x} - \frac{-\cos x}{1 - \sin x} = \frac{\cos x}{1 + \sin x} + \frac{\cos x}{1 - \sin x}$$

通分して計算すると、

$$y' = \frac{\cos x (1 - \sin x) + \cos x (1 + \sin x)}{(1 + \sin x)(1 - \sin x)} = \frac{\cos x - \cos x \sin x + \cos x + \cos x \sin x}{1 - \sin^2 x}$$

$$y' = \frac{2 \cos x}{1 - \sin^2 x}$$

三角関数の恒等式 $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$ を用いると、

$$y' = \frac{2 \cos x}{\cos^2 x} = \frac{2}{\cos x}$$

3. 最終的な答え

よって、$\text{オ}$ に入るべきものは $2$ です。

最終的な答えは $2$ となります。