kは0でない実数とし、$f(x)$を2次関数とします。関数$F(x)$と$G(x)$はどちらも導関数を持ち、$F'(x)=G'(x)=f(x)$を満たします。また、$F(x)$は$x=0$で極小値0をとり、$G(x)$は$x=k$で極大値0をとります。 (1) $F(x) = 2x^3 + 3x^2$の場合について、 $f(x)$の式、$F(x)$が極大値をとる$x$の値、$G(x)$の式、$G(x)$が極小値をとる$x$の値、積分定数$C$の値を求めます。 (2) $k > 0$の場合について、$F(x)$と$G(x)$に関する条件から、$y = F(x)$のグラフと$F(x)$、$G(x)$の極値について調べます。$f(0)$の値、$x=0$の前後での$f(x)$の符号、$f(k)$の値、$x=k$の前後での$f(x)$の符号、$y=F(x)$のグラフの概形を答えます。

1. 問題の内容

kは0でない実数とし、$f(x)$を2次関数とします。関数$F(x)$と$G(x)$はどちらも導関数を持ち、$F'(x)=G'(x)=f(x)$を満たします。また、$F(x)$は$x=0$で極小値0をとり、$G(x)$は$x=k$で極大値0をとります。

(1) $F(x) = 2x^3 + 3x^2$の場合について、

$f(x)$の式、$F(x)$が極大値をとる$x$の値、$G(x)$の式、$G(x)$が極小値をとる$x$の値、積分定数$C$の値を求めます。

(2) $k > 0$の場合について、$F(x)$と$G(x)$に関する条件から、$y = F(x)$のグラフと$F(x)$、$G(x)$の極値について調べます。$f(0)$の値、$x=0$の前後での$f(x)$の符号、$f(k)$の値、$x=k$の前後での$f(x)$の符号、$y=F(x)$のグラフの概形を答えます。

2. 解き方の手順

(1)

- $F(x) = 2x^3 + 3x^2$より、$f(x) = F'(x) = 6x^2 + 6x$。

- $f(x) = 6x^2 + 6x = 6x(x+1) = 0$を解くと、$x = 0, -1$。$F'(x) = 6x(x+1)$なので、$x = -1$の前後で符号が変化し、$F(x)$は$x = -1$で極大値をとる。

- $f(x) = G'(x) = 6x^2 + 6x$より、$G(x) = \int (6x^2 + 6x) dx = 2x^3 + 3x^2 + C$。

- $G'(x) = 6x(x+1) = 0$なので、$G(x)$の極値は$x=0$と$x=-1$でとる。$G(x)$は$x=k$で極大値0をとるので、$x=-1$ではない。したがって、$x=0$で極小値をとる。 $G(k) = 0$より、$G(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 + C = -2 + 3 + C = 1+C$。$G(x)$は$x=k$で極大値をとるので、$G(-1)$は極小値ではない。$k=-1$ではない。

- G(x)はx=kで極大値0をとるので、$G(k)=0$。この式と、$G(0)$の値から、$C$の値を求める。$G(x)=2x^3+3x^2+C$。$G(x)$が$x=k$で極大値0をとるので、$G(k)=2k^3+3k^2+C=0$。ここで、$G'(x)=f(x)$なので、$G(x)$は$x=k$で極大値をとる。$G(x)$がx=0で極小値を持つので、$x=0$の近くで$G'(x)=f(x) = 6x(x+1)$の符号を調べると、$x < 0$のとき、$(x+1)>0$なので、$G'(x)$の符号は$x$の符号と同じで負になる。$x > 0$のとき、$(x+1) > 0$なので、$G'(x)$は正になる。よって、$x=0$の前後で、$G'(x)$の符号は負から正に変わるので、$G(0)$は極小値となる。$x=k$では極大値0をとるので、$2k^3+3k^2+C = 0$。もし、$k=-1$なら、$2(-1)^3 + 3(-1)^2 + C = -2 + 3 + C = 1 + C = 0$より、$C=-1$。$G(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 + C = C$。$k=-1$でない場合、$2k^3+3k^2+C = 0$なので、$C = -2k^3-3k^2$。

(2)

- $F(x)$が$x=0$で極小値0をとるので、$F(0)=0$。よって、$f(0)=F'(0)=0$。

- $x=0$の前後で$f(x)$の符号を調べる。$f(x) = F'(x)$で、$x=0$で極小値をとるので、$x < 0$のとき、$f(x) < 0$、$x > 0$のとき、$f(x) > 0$。よって、$x=0$の前後で$f(x)$の符号は負から正に変わる。

- $G(x)$が$x=k$で極大値をとるので、$G'(k)=f(k)=0$。

- $x=k$の前後で$f(x)$の符号を調べる。$G(x)$は$x=k$で極大値をとるので、$x<k$のとき、$f(x)>0$、$x>k$のとき、$f(x) < 0$。よって、$x=k$の前後で$f(x)$の符号は正から負に変わる。

- $y=F(x)$のグラフの概形は、$x=0$で極小値0をとり、$x<0$で$f(x)<0$、$x>0$で$f(x)>0$なので、$x<0$で減少、$x>0$で増加する。

3. 最終的な答え

(1)

ア：6, イ：6

ウエ：-1

オ：2, カ：3

キ：0

クケ：-1 (ただし、k=-1の場合)

(2)

コ：0

サ：負

シ：0

ス：負

セ：下に凸の放物線

(補足)

問題文から$k=-1$と決まっているわけではないので、C=-2k^3-3k^2とも言えます。しかし、$k \ne 0$という条件以外情報がないため、k=-1を仮定しました。