実数 $k$ に対し、関数 $f(x) = 4x - 8x^3$ を考える。以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ を微分せよ。 (2) $f(x)$ の増減を調べ、$f(x)$ の極値と、そのときの $x$ の値を求めよ。 (3) $0 \le x \le 1$ のとき、$x$ についての方程式 $f(x) = k$ の実数解の個数を求めよ。 (4) 2倍角の公式を用いて、$\sin 4\theta$ を $\sin \theta$ と $\cos \theta$ を用いて表せ。 (5) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ のとき、$\theta$ についての方程式 $\sin 4\theta = k \cos \theta$ の実数解の個数を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $k$ に対し、関数 $f(x) = 4x - 8x^3$ を考える。以下の問いに答える。

(1) $f(x)$ を微分せよ。

(2) $f(x)$ の増減を調べ、$f(x)$ の極値と、そのときの $x$ の値を求めよ。

(3) $0 \le x \le 1$ のとき、$x$ についての方程式 $f(x) = k$ の実数解の個数を求めよ。

(4) 2倍角の公式を用いて、$\sin 4\theta$ を $\sin \theta$ と $\cos \theta$ を用いて表せ。

(5) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ のとき、$\theta$ についての方程式 $\sin 4\theta = k \cos \theta$ の実数解の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = 4x - 8x^3$ を微分する。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(4x - 8x^3) = 4 - 24x^2$.

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$4 - 24x^2 = 0$ より、 $x^2 = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$。

したがって、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$.

増減表を書くと、

$x < -\frac{1}{\sqrt{6}}$ で $f'(x) < 0$

$x = -\frac{1}{\sqrt{6}}$ で $f'(x) = 0$

$-\frac{1}{\sqrt{6}} < x < \frac{1}{\sqrt{6}}$ で $f'(x) > 0$

$x = \frac{1}{\sqrt{6}}$ で $f'(x) = 0$

$x > \frac{1}{\sqrt{6}}$ で $f'(x) < 0$

したがって、$x = -\frac{1}{\sqrt{6}}$ で極小値をとり、$x = \frac{1}{\sqrt{6}}$ で極大値をとる。

極小値は $f(-\frac{1}{\sqrt{6}}) = 4(-\frac{1}{\sqrt{6}}) - 8(-\frac{1}{\sqrt{6}})^3 = -\frac{4}{\sqrt{6}} + \frac{8}{6\sqrt{6}} = -\frac{4}{\sqrt{6}} + \frac{4}{3\sqrt{6}} = -\frac{12-4}{3\sqrt{6}} = -\frac{8}{3\sqrt{6}} = -\frac{4\sqrt{6}}{9}$.

極大値は $f(\frac{1}{\sqrt{6}}) = 4(\frac{1}{\sqrt{6}}) - 8(\frac{1}{\sqrt{6}})^3 = \frac{4}{\sqrt{6}} - \frac{8}{6\sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{6}} - \frac{4}{3\sqrt{6}} = \frac{12-4}{3\sqrt{6}} = \frac{8}{3\sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{6}}{9}$.

(3) $0 \le x \le 1$ の範囲で、$f(x) = k$ の実数解の個数を調べる。

$f(0) = 0$

$f(1) = 4 - 8 = -4$.

$x = \frac{1}{\sqrt{6}}$ で極大値 $\frac{4\sqrt{6}}{9}$ をとる。

$\frac{4\sqrt{6}}{9} \approx \frac{4 \times 2.45}{9} \approx \frac{9.8}{9} \approx 1.09$.

したがって、$0 \le x \le 1$ における $f(x)$ の値域は $[-4, \frac{4\sqrt{6}}{9}]$ である。

$-4 \le k < 0$ のとき、解は1個。

$k = 0$ のとき、解は2個 ($x=0$とその他)。

$0 < k < \frac{4\sqrt{6}}{9}$ のとき、解は3個。

$k = \frac{4\sqrt{6}}{9}$ のとき、解は2個。

$k > \frac{4\sqrt{6}}{9}$ または $k < -4$ のとき、解は0個。

(4) $\sin 4\theta = 2\sin 2\theta \cos 2\theta = 2 (2\sin\theta\cos\theta) (\cos^2\theta - \sin^2\theta) = 4 \sin\theta\cos\theta (\cos^2\theta - \sin^2\theta)$.

(5) $\sin 4\theta = k \cos \theta$.

$4 \sin\theta\cos\theta (\cos^2\theta - \sin^2\theta) = k \cos \theta$.

$\cos\theta (4\sin\theta (\cos^2\theta - \sin^2\theta) - k) = 0$.

$\cos\theta = 0$ または $4\sin\theta (\cos^2\theta - \sin^2\theta) = k$.

$\cos\theta = 0$ より $\theta = \frac{\pi}{2}$.

$4\sin\theta (\cos^2\theta - \sin^2\theta) = 4\sin\theta (1 - 2\sin^2\theta) = k$.

$t = \sin\theta$ とおくと、$4t(1 - 2t^2) = k$ より、$4t - 8t^3 = k$.

$f(t) = 4t - 8t^3 = k$. $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より、$0 \le t \le 1$.

(3) より、

$-4 \le k < 0$ のとき、解は1個。$t < 0$だから解は0個。

$k = 0$ のとき、解は2個 ($t=0$とその他)。 $t = 0$より$\theta = 0$なので解あり。

$0 < k < \frac{4\sqrt{6}}{9}$ のとき、解は3個。

$k = \frac{4\sqrt{6}}{9}$ のとき、解は2個。

$k > \frac{4\sqrt{6}}{9}$ のとき、解は0個。

$k$の値によって個数が変わる。

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 4 - 24x^2$

(2) $x = -\frac{1}{\sqrt{6}}$ で極小値 $-\frac{4\sqrt{6}}{9}$, $x = \frac{1}{\sqrt{6}}$ で極大値 $\frac{4\sqrt{6}}{9}$

(3) $-4 \le k < 0$ のとき、1個; $k = 0$ のとき、2個; $0 < k < \frac{4\sqrt{6}}{9}$ のとき、3個; $k = \frac{4\sqrt{6}}{9}$ のとき、2個; $k > \frac{4\sqrt{6}}{9}$ または $k < -4$ のとき、0個

(4) $\sin 4\theta = 4 \sin\theta\cos\theta (\cos^2\theta - \sin^2\theta)$

(5) $\cos\theta = 0$ より$\theta = \frac{\pi}{2}$。$\sin\theta = 0$より、$\theta = 0$。それ以外に、$4\sin\theta(1-2\sin^2\theta) = k$の解の個数。

$k$の値によって個数が変わる。

$k < 0$ のとき解は0個。

$k=0$ のとき、$\theta=0, \frac{\pi}{2}$ の2個。

$0 < k < \frac{4\sqrt{6}}{9}$のとき、解は4個。

$k = \frac{4\sqrt{6}}{9}$のとき、解は3個。

$k > \frac{4\sqrt{6}}{9}$のとき、解は2個。