放物線 $y = x^2 - 2ax$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積が $\frac{9}{16}$ となるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

解析学積分面積放物線定積分
2025/8/6

1. 問題の内容

放物線 y=x22axy = x^2 - 2axxx 軸で囲まれた部分の面積が 916\frac{9}{16} となるとき、定数 aa の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、x22ax=0x^2 - 2ax = 0 を解き、放物線と xx 軸との交点の xx 座標を求めます。
x(x2a)=0x(x-2a) = 0 より、x=0x=0x=2ax=2a が交点の xx 座標です。
次に、放物線と xx 軸で囲まれた部分の面積を計算します。
ただし、a>0a>0の場合を考え、xx軸より下の面積を積分します。
面積 SS は次のように表されます。
S=02a(x22ax)dxS = \int_0^{2a} -(x^2 - 2ax) dx
S=02a(x2+2ax)dxS = \int_0^{2a} (-x^2 + 2ax) dx
S=[13x3+ax2]02aS = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + ax^2 \right]_0^{2a}
S=13(2a)3+a(2a)2S = -\frac{1}{3}(2a)^3 + a(2a)^2
S=83a3+4a3S = -\frac{8}{3}a^3 + 4a^3
S=43a3S = \frac{4}{3}a^3
問題文より、S=916S = \frac{9}{16} なので、
43a3=916\frac{4}{3}a^3 = \frac{9}{16}
a3=91634a^3 = \frac{9}{16} \cdot \frac{3}{4}
a3=2764a^3 = \frac{27}{64}
a=27643a = \sqrt[3]{\frac{27}{64}}
a=34a = \frac{3}{4}
a<0a < 0 の場合を考えます。交点の xx 座標は 2a2a00 で、2a<0<02a < 0 < 0 なので、xx軸より上の面積を積分します。
面積 SS は次のように表されます。
S=2a0(x22ax)dxS = \int_{2a}^{0} (x^2 - 2ax) dx
S=[13x3ax2]2a0S = \left[ \frac{1}{3}x^3 - ax^2 \right]_{2a}^{0}
S=0(13(2a)3a(2a)2)S = 0 - (\frac{1}{3}(2a)^3 - a(2a)^2)
S=(83a34a3)S = - (\frac{8}{3}a^3 - 4a^3)
S=(43a3)S = - (-\frac{4}{3}a^3)
S=43a3S = \frac{4}{3}a^3
43a3=916\frac{4}{3}a^3 = \frac{9}{16}
a3=91634a^3 = \frac{9}{16} \cdot \frac{3}{4}
a3=2764a^3 = \frac{27}{64}
a=27643a = \sqrt[3]{\frac{27}{64}}
a=34a = \frac{3}{4}
これは、a<0a < 0 に矛盾するので不適です。
したがって、a=34a = \frac{3}{4} のみが解です。

3. 最終的な答え

a=34a = \frac{3}{4}

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