$f(x)$ を $k$ を含まない関数とし、$F(x)$ を2次関数とする。 $F(x)$ と $G(x)$ はどちらも $f(x)$ を導関数とするような関数で、$F(x)$ は $x=0$ で極小値 0 をとり、$G(x)$ は $x=k$ で極大値をとるとする。 (1) $F(x) = 2x^3 + 3x^2$ の場合を考える。$F(x)$ の導関数が $f(x)$ であることから、$f(x)$、 $F(x)$ が極大値をとる $x$ の値、 $G(x)$ を求め、 $G(x)$ の積分定数 $C$ の値を求める。 (2) 次に、$k>0$ の場合を考える。 $F(x)$ と $G(x)$ に関する条件から、$y=F(x)$ のグラフと $f(x)$, $G(x)$ の極値について調べる。

1. 問題の内容

$f(x)$ を $k$ を含まない関数とし、$F(x)$ を2次関数とする。 $F(x)$ と $G(x)$ はどちらも $f(x)$ を導関数とするような関数で、$F(x)$ は $x=0$ で極小値 0 をとり、$G(x)$ は $x=k$ で極大値をとるとする。

(1) $F(x) = 2x^3 + 3x^2$ の場合を考える。$F(x)$ の導関数が $f(x)$ であることから、$f(x)$、 $F(x)$ が極大値をとる $x$ の値、 $G(x)$ を求め、 $G(x)$ の積分定数 $C$ の値を求める。

(2) 次に、$k>0$ の場合を考える。 $F(x)$ と $G(x)$ に関する条件から、$y=F(x)$ のグラフと $f(x)$, $G(x)$ の極値について調べる。

2. 解き方の手順

(1) $F(x) = 2x^3 + 3x^2$ より、$f(x) = F'(x) = 6x^2 + 6x$ となる。$f(x) = 6x(x+1)$ であるから、増減表を考えると、$F(x)$ は $x=-1$ で極大値をとる。また、$G'(x)=f(x)$ であるから、

$G(x) = \int f(x) dx = \int (6x^2 + 6x) dx = 2x^3 + 3x^2 + C$ となる。

$G'(x) = f(x) = 0$ となるのは $x=-1, 0$ であり、$x=k$ で極大値をとるので、$x=0$ のとき極大値をとる。

したがって、$G(0) = 0$ であるから、$2(0)^3 + 3(0)^2 + C = 0$ より、$C=0$。

$G(x) = 2x^3 + 3x^2$ であるから、増減表を考えると、$x=-1$ で極小値をとる。

したがって、 $G(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 = -2+3 = 1$。

$G(x) = 2x^3 + 3x^2 + C$ であり、$G(0) = 0$ より $C=0$。

$G(x)$ は $x=-1$ で極小値 1 をとる。

$f(0) = 0$ であるから、$G(x)$ の条件より $C = -1$。

(2) $F(x)$ が $x=0$ で極小値をとることから、$F'(0) = f(0) = 0$ となる。

$G(x)$ が $x=k$ で極大値をとることから、$G'(x) = f(x)$ より、$f(k) = 0$ である。

$x=0$ の前後で $f(x)$ の符号は正、さらに $G(x)$ が $x=k$ で極大値をとることから、$f(k) = 0$。

したがって、$f(k) = 0$ であり、$x=k$ の前後で $f(x)$ の符号は変化する。

$x = 0$ で極小、 $x = k$ で極大をとるので、$f(x)$ の符号は、

$x<0$ で $+$、$0<x<k$ で $-$、$x>k$ で $+$ となる。

$f(x)$ が $F(x)$ の導関数であることに注意すると、座標平面において $y=F(x)$ のグラフの概形は、0。

3. 最終的な答え

(1) ア：$6x^2+6x$, イ：-1, ウエ：-1, オ：2, カ：3, クケ：0

(2) コ：0, サ：+, シ：0, ス：0, セ：5