放物線 $y = x^2 - 2ax$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積が $\frac{9}{16}$ となるような定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2ax$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積が $\frac{9}{16}$ となるような定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 - 2ax$ と $x$ 軸の交点を求めます。これは $y = 0$ となる $x$ の値を求めることに相当します。

$x^2 - 2ax = 0$

$x(x - 2a) = 0$

よって、$x = 0, 2a$ となります。$a > 0$ と仮定すると、$0 < 2a$ です。

放物線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ は、積分を用いて計算できます。積分範囲は $x = 0$ から $x = 2a$ であり、被積分関数は $-(x^2 - 2ax)$ となります。なぜなら、この範囲で $x^2 - 2ax$ は負の値をとるからです。

$S = \int_0^{2a} -(x^2 - 2ax) dx = - \int_0^{2a} (x^2 - 2ax) dx$

$S = - \left[ \frac{1}{3}x^3 - ax^2 \right]_0^{2a}$

$S = - \left[ \frac{1}{3}(2a)^3 - a(2a)^2 - (0 - 0) \right]$

$S = - \left[ \frac{8}{3}a^3 - 4a^3 \right]$

$S = - \left[ \frac{8}{3}a^3 - \frac{12}{3}a^3 \right]$

$S = - \left[ -\frac{4}{3}a^3 \right]$

$S = \frac{4}{3}a^3$

問題文より、$S = \frac{9}{16}$ であるので、以下の式が成り立ちます。

$\frac{4}{3}a^3 = \frac{9}{16}$

$a^3 = \frac{9}{16} \cdot \frac{3}{4} = \frac{27}{64}$

$a = \sqrt[3]{\frac{27}{64}} = \frac{3}{4}$

$a < 0$ の場合、$2a < 0$ となるので、積分範囲は $2a$ から $0$ になります。

$S = \int_{2a}^0 -(x^2 - 2ax) dx = \int_{2a}^0 (-x^2 + 2ax) dx$

$= \left[-\frac{1}{3}x^3 + ax^2\right]_{2a}^0 = 0 - (-\frac{8}{3}a^3 + 4a^3) = \frac{8}{3}a^3 - 4a^3 = -\frac{4}{3}a^3$

$S = \frac{9}{16}$より、$-\frac{4}{3}a^3 = \frac{9}{16}$

$a^3 = -\frac{27}{64}$

$a = -\frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{3}{4}, -\frac{3}{4}$