定積分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 - 2\sin 2x + 3\cos^2 x} \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 - 2\sin 2x + 3\cos^2 x} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分の中の式を簡単にします。

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ なので、

$1 - 2\sin 2x + 3\cos^2 x = 1 - 4\sin x \cos x + 3\cos^2 x$ となります。

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ より、

$1 - 4\sin x \cos x + 3\cos^2 x = \cos^2 x + \sin^2 x - 4\sin x \cos x + 3\cos^2 x = 4\cos^2 x - 4\sin x \cos x + \sin^2 x = (2\cos x - \sin x)^2$ となります。

よって、

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{(2\cos x - \sin x)^2} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |2\cos x - \sin x| \, dx$ を計算することになります。

$2\cos x - \sin x = 0$ となる $x$ は、$\tan x = 2$ となる $x$ です。$x_0 = \arctan 2$ とします。$\arctan 2 \approx 1.107$ なので、$0 < x_0 < \frac{\pi}{2}$ です。

したがって、積分区間を $[0, x_0]$ と $[x_0, \frac{\pi}{2}]$ に分割して計算します。

$0 \le x \le x_0$ のとき、$2\cos x - \sin x \ge 0$ なので、$\int_0^{x_0} (2\cos x - \sin x) \, dx = [2\sin x + \cos x]_0^{x_0} = 2\sin x_0 + \cos x_0 - 1$

$x_0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ のとき、$2\cos x - \sin x \le 0$ なので、$\int_{x_0}^{\frac{\pi}{2}} -(2\cos x - \sin x) \, dx = [-2\sin x - \cos x]_{x_0}^{\frac{\pi}{2}} = -2 - (-2\sin x_0 - \cos x_0) = -2 + 2\sin x_0 + \cos x_0$

$\tan x_0 = 2$ なので、$\sin x_0 = \frac{2}{\sqrt{5}}$, $\cos x_0 = \frac{1}{\sqrt{5}}$ となります。

よって、$\int_0^{x_0} (2\cos x - \sin x) \, dx = 2(\frac{2}{\sqrt{5}}) + \frac{1}{\sqrt{5}} - 1 = \frac{5}{\sqrt{5}} - 1 = \sqrt{5} - 1$

$\int_{x_0}^{\frac{\pi}{2}} -(2\cos x - \sin x) \, dx = -2 + 2(\frac{2}{\sqrt{5}}) + \frac{1}{\sqrt{5}} = -2 + \frac{5}{\sqrt{5}} = -2 + \sqrt{5}$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} |2\cos x - \sin x| \, dx = \sqrt{5} - 1 + \sqrt{5} - 2 = 2\sqrt{5} - 3$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{5} - 3$