自然数 $n$ に対して、関数 $y = 2^x$ のグラフと、$x$軸、$y$軸、および直線 $x = n+1$ で囲まれた図形を $U$ とします。整数 $k$ に対して、直線 $x = k$ 上の格子点で $U$ の内部にあるものの個数と、$U$ の内部にある格子点の総数を求めます。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、関数 $y = 2^x$ のグラフと、$x$軸、$y$軸、および直線 $x = n+1$ で囲まれた図形を $U$ とします。整数 $k$ に対して、直線 $x = k$ 上の格子点で $U$ の内部にあるものの個数と、$U$ の内部にある格子点の総数を求めます。

2. 解き方の手順

- **ケ** を求める：

直線 $x = k$ 上の格子点で、$U$ の内部にあるものの個数は、$y = 2^x$ のグラフの下にある格子点の数です。$x = k$ のとき、$y = 2^k$ です。したがって、直線 $x = k$ 上の格子点で、$U$ の内部にあるものの個数は、$2^k$ 未満の正の整数の数、つまり $2^k - 1$ 個です。

- **コ** を求める：

$U$ の内部の格子点の総数を求めるために、$x = 1$ から $x = n+1$ までの $x$ 座標を持つ直線上の格子点の数を合計します。したがって、$k$ の下限は 1、$k$ の上限は $n+1$ です。

$\sum_{k=1}^{n+1} (2^k - 1)$

- **サ** を求める：

$\sum_{k=1}^{n+1} (2^k - 1) = \sum_{k=1}^{n+1} 2^k - \sum_{k=1}^{n+1} 1$

等比数列の和の公式を用いて、

$\sum_{k=1}^{n+1} 2^k = \frac{2(2^{n+1}-1)}{2-1} = 2(2^{n+1} - 1) = 2^{n+2} - 2$

$\sum_{k=1}^{n+1} 1 = n+1$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n+1} (2^k - 1) = 2^{n+2} - 2 - (n+1) = 2^{n+2} - n - 3$

3. 最終的な答え

ケ: $2^k - 1$

コ: 1

サ: $2^{n+2} - n - 3$