放物線 $y = -ax^2 + b$ をCとし、点P(1, 0), Q(0, 2)とする。ただし、$a > 0$, $0 < b < 2$とする。放物線Cは2点P, Qを通る直線に接している。放物線Cとx軸で囲まれた部分の面積をSとする。 (1) aをbで表せ。 (2) Sをbを用いて表せ。 (3) $\frac{S}{\sqrt{b}}$が最大になるようにbの値を定めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = -ax^2 + b$ をCとし、点P(1, 0), Q(0, 2)とする。ただし、$a > 0$, $0 < b < 2$とする。放物線Cは2点P, Qを通る直線に接している。放物線Cとx軸で囲まれた部分の面積をSとする。

(1) aをbで表せ。

(2) Sをbを用いて表せ。

(3) $\frac{S}{\sqrt{b}}$が最大になるようにbの値を定めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点P(1, 0), Q(0, 2)を通る直線の方程式を求める。

傾きは$\frac{2 - 0}{0 - 1} = -2$なので、直線の方程式は$y = -2x + 2$となる。

放物線 $y = -ax^2 + b$ が直線 $y = -2x + 2$ に接するので、

$-ax^2 + b = -2x + 2$

$ax^2 - 2x + (2 - b) = 0$

この2次方程式が重解を持つので、判別式D=0

$D = (-2)^2 - 4a(2 - b) = 0$

$4 - 8a + 4ab = 0$

$1 - 2a + ab = 0$

$2a - ab = 1$

$a(2 - b) = 1$

$a = \frac{1}{2 - b}$

(2) 放物線 $y = -ax^2 + b$ と x軸の交点を求める。

$-ax^2 + b = 0$

$ax^2 = b$

$x^2 = \frac{b}{a}$

$x = \pm \sqrt{\frac{b}{a}}$

$x = \pm \sqrt{b(2 - b)}$

したがって、放物線とx軸で囲まれた部分の面積Sは

$S = \int_{-\sqrt{b(2-b)}}^{\sqrt{b(2-b)}} (-ax^2 + b) dx$

$S = 2 \int_{0}^{\sqrt{b(2-b)}} (-ax^2 + b) dx$

$S = 2 [- \frac{ax^3}{3} + bx]_{0}^{\sqrt{b(2-b)}}$

$S = 2 [- \frac{a (b(2 - b))^{3/2}}{3} + b \sqrt{b(2 - b)}]$

$S = 2 [- \frac{\frac{1}{2-b} (b(2 - b))^{3/2}}{3} + b \sqrt{b(2 - b)}]$

$S = 2 [- \frac{b^{3/2} (2 - b)^{1/2}}{3} + b^{3/2} (2 - b)^{1/2}]$

$S = 2 b^{3/2} (2 - b)^{1/2} (1 - \frac{1}{3})$

$S = \frac{4}{3} b^{3/2} (2 - b)^{1/2}$

(3) $\frac{S}{\sqrt{b}} = \frac{4}{3} \frac{b^{3/2} (2 - b)^{1/2}}{\sqrt{b}} = \frac{4}{3} b (2 - b)^{1/2}$

$\frac{S}{\sqrt{b}} = \frac{4}{3} \sqrt{b^2(2 - b)} = \frac{4}{3} \sqrt{2b^2 - b^3}$

$f(b) = 2b^2 - b^3$

$f'(b) = 4b - 3b^2 = b(4 - 3b)$

$f'(b) = 0$のとき、$b = 0, \frac{4}{3}$

$0 < b < 2$なので、$b = \frac{4}{3}$

$f(b)$は$b = \frac{4}{3}$で最大値をとる。

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2-b}$

(2) $S = \frac{4}{3} b^{3/2} \sqrt{2-b}$

(3) $b = \frac{4}{3}$