定積分 $\int_{0}^{\pi} \sin^2 2x \, dx$ を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\pi} \sin^2 2x \, dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 2x$ を半角の公式を使って変形します。

半角の公式は $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ より、$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ です。

これより、

$$\sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}$$

となります。

したがって、積分は

$$\int_{0}^{\pi} \sin^2 2x \, dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 4x}{2} \, dx$$

$$= \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos 4x) \, dx$$

$$= \frac{1}{2} \left[ x - \frac{1}{4} \sin 4x \right]_{0}^{\pi}$$

$$= \frac{1}{2} \left[ \left( \pi - \frac{1}{4} \sin 4\pi \right) - \left( 0 - \frac{1}{4} \sin 0 \right) \right]$$

$$= \frac{1}{2} \left[ \pi - 0 - 0 + 0 \right]$$

$$= \frac{\pi}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$