関数 $f(x) = 3x^4 + 4ax^3 + 6bx^2 - 48x + 3$ が3つの $x$ の値に対して極値を持ち、そのうちの1つが $x=1$ で起こるという。 (1) $a, b$ の条件を求め、その条件を満たす点 $(a, b)$ の存在範囲を $ab$ 平面上に図示せよ。 (2) さらに、$x=1$ における極値が極大となるときの $a, b$ の条件を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 3x^4 + 4ax^3 + 6bx^2 - 48x + 3$ が3つの $x$ の値に対して極値を持ち、そのうちの1つが $x=1$ で起こるという。

(1) $a, b$ の条件を求め、その条件を満たす点 $(a, b)$ の存在範囲を $ab$ 平面上に図示せよ。

(2) さらに、$x=1$ における極値が極大となるときの $a, b$ の条件を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ が $x=1$ で極値を持つので、$f'(1) = 0$ である。

まず、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 12x^3 + 12ax^2 + 12bx - 48$

$f'(1) = 12 + 12a + 12b - 48 = 0$

$12a + 12b = 36$

$a + b = 3$

$b = 3 - a$

$f'(x) = 12x^3 + 12ax^2 + 12(3-a)x - 48$

$f'(x) = 12(x^3 + ax^2 + (3-a)x - 4)$

$f'(1) = 0$ より、$f'(x)$ は $(x-1)$ を因数に持つ。

$x^3 + ax^2 + (3-a)x - 4 = (x-1)(x^2 + (a+1)x + 4)$

$f'(x) = 12(x-1)(x^2 + (a+1)x + 4)$

$f(x)$ が3つの極値を持つには、$x^2 + (a+1)x + 4 = 0$ が $x=1$ 以外の異なる2つの実数解を持つ必要がある。

判別式 $D = (a+1)^2 - 4(1)(4) > 0$

$(a+1)^2 > 16$

$a+1 > 4$ または $a+1 < -4$

$a > 3$ または $a < -5$

$x^2 + (a+1)x + 4 = 0$ に $x=1$ を代入すると、$1 + a + 1 + 4 = 0$ より $a = -6$.

$a \ne -6$ である必要がある。

(2) $x=1$ における極値が極大となる条件は、$x=1$ の前後で $f'(x)$ の符号が正から負に変わることである。

$f'(x) = 12(x-1)(x^2+(a+1)x+4)$

$g(x) = x^2 + (a+1)x + 4$ とおくと、$x=1$ 以外の2つの異なる解を $\alpha, \beta$ とすると、

$f'(x)$ の符号変化が $x < 1$ で正、$x > 1$ で負であれば極大となる。

このためには、$g(1) = 0$ とならないことに注意し、もし、$g(x)$ の解が $\alpha < \beta$ とすると、

$\alpha < \beta < 1$ または $1 < \alpha < \beta$ であれば、$x=1$ で極大とはならない。

よって、$\alpha < 1 < \beta$ であればよい。

これは、$g(1) < 0$ であることと同値である。

$g(1) = 1 + a + 1 + 4 = a + 6 < 0$

$a < -6$

3. 最終的な答え

(1) $b = 3 - a$ であり、$a > 3$ または $a < -5$ かつ $a \ne -6$。 $ab$ 平面上では、$b = 3 - a$ の直線上で、$a > 3$ または $a < -5$ の範囲(ただし、$a = -6$ は除く)。

(2) $a < -6$ かつ $b = 3 - a$