与えられた関数 $f(x)$ に対して、指定された点における微分係数 $f'(x)$ を求める問題です。具体的には、以下の7つの問題があります。 (1) $f(x) = (x^3 + 5x + 2)^4$ のとき、$f'(0)$ (2) $f(x) = \cos^3 x \sin 3x$ のとき、$f'(\frac{\pi}{4})$ (3) $f(x) = x^3 2^x$ のとき、$f'(2)$ (4) $f(x) = \log(2e^{5x} - 1)$ のとき、$f'(1)$ (5) $f(x) = \tan 3x$ のとき、$f'(\frac{\pi}{3})$ (6) $f(x) = \log_3 2x$ のとき、$f'(\frac{1}{\log 9})$ (7) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{1+x}$ のとき、$f'(4)$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ に対して、指定された点における微分係数 $f'(x)$ を求める問題です。具体的には、以下の7つの問題があります。

(1) $f(x) = (x^3 + 5x + 2)^4$ のとき、$f'(0)$

(2) $f(x) = \cos^3 x \sin 3x$ のとき、$f'(\frac{\pi}{4})$

(3) $f(x) = x^3 2^x$ のとき、$f'(2)$

(4) $f(x) = \log(2e^{5x} - 1)$ のとき、$f'(1)$

(5) $f(x) = \tan 3x$ のとき、$f'(\frac{\pi}{3})$

(6) $f(x) = \log_3 2x$ のとき、$f'(\frac{1}{\log 9})$

(7) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{1+x}$ のとき、$f'(4)$

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で解きます。

(1) $f(x) = (x^3 + 5x + 2)^4$ のとき、$f'(x) = 4(x^3 + 5x + 2)^3 (3x^2 + 5)$ より、$f'(0) = 4(2)^3 (5) = 4 \cdot 8 \cdot 5 = 160$。したがって、1, 2, 3 に入る数字はそれぞれ 1, 6, 0 です。

(2) $f(x) = \cos^3 x \sin 3x$ のとき、$f'(x) = 3 \cos^2 x (-\sin x) \sin 3x + \cos^3 x (3 \cos 3x)$

$f'(\frac{\pi}{4}) = 3 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 (-\frac{1}{\sqrt{2}}) \sin \frac{3\pi}{4} + (\frac{1}{\sqrt{2}})^3 (3 \cos \frac{3\pi}{4})$

$= 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}} (3 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}}))$

$= -\frac{3}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$。したがって、4, 5, 6 に入る数字はそれぞれ -3, 0, 2 です。

(3) $f(x) = x^3 2^x$ のとき、$f'(x) = 3x^2 2^x + x^3 2^x \log 2$。

$f'(2) = 3(2^2) 2^2 + 2^3 2^2 \log 2 = 3 \cdot 4 \cdot 4 + 8 \cdot 4 \log 2 = 48 + 32 \log 2$。したがって、7, 8, 9, 10 に入る数字はそれぞれ 4, 8, 3, 2 です。

(4) $f(x) = \log(2e^{5x} - 1)$ のとき、$f'(x) = \frac{1}{2e^{5x} - 1} (10e^{5x}) = \frac{10e^{5x}}{2e^{5x} - 1}$。

$f'(1) = \frac{10e^5}{2e^5 - 1}$。したがって、11, 12, 13, 14, 15 に入る数字はそれぞれ 1, 0, 5, 2, 5 です。

(5) $f(x) = \tan 3x$ のとき、$f'(x) = 3 \sec^2 3x = \frac{3}{\cos^2 3x}$。

$f'(\frac{\pi}{3}) = \frac{3}{\cos^2 \pi} = \frac{3}{(-1)^2} = 3$。したがって、16 に入る数字は 3 です。

(6) $f(x) = \log_3 2x$ のとき、$f'(x) = \frac{1}{2x \log 3} \cdot 2 = \frac{1}{x \log 3}$。

$\frac{1}{\log 9} = \frac{1}{2 \log 3}$ を代入すると、$f'(\frac{1}{\log 9}) = \frac{1}{\frac{1}{2 \log 3} \log 3} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$。したがって、17 に入る数字は 2 です。

(7) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{1+x}$ のとき、$f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(1+x) - \sqrt{x}}{(1+x)^2} = \frac{\frac{1+x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}}{(1+x)^2} = \frac{1+x - 2x}{2\sqrt{x}(1+x)^2} = \frac{1-x}{2\sqrt{x}(1+x)^2}$。

$f'(4) = \frac{1-4}{2\sqrt{4}(1+4)^2} = \frac{-3}{2 \cdot 2 \cdot 25} = \frac{-3}{100}$。したがって、18, 19, 20, 21, 22 に入る数字はそれぞれ -0, 3, 1, 0, 0 です。

3. 最終的な答え

(1) 160

(2) -3/2

(3) $48 + 32 \log 2$

(4) $\frac{10e^5}{2e^5 - 1}$

(5) 3

(6) 2

(7) -3/100