$\int \sqrt[3]{6x+7} dx$ の不定積分を求める。

1. 問題の内容

$\int \sqrt[3]{6x+7} dx$ の不定積分を求める。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を用いる。$u = 6x+7$ とおくと、$du = 6dx$ より、$dx = \frac{1}{6}du$ となる。

よって、

$\int \sqrt[3]{6x+7} dx = \int \sqrt[3]{u} \cdot \frac{1}{6} du = \frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{3}} du$

となる。

次に、$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ （ただし、$n \neq -1$）の公式を利用する。

$\frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{3}} du = \frac{1}{6} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + C = \frac{1}{6} \cdot \frac{u^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C = \frac{1}{8} u^{\frac{4}{3}} + C$

最後に、$u = 6x+7$ を代入して元に戻すと、

$\frac{1}{8} (6x+7)^{\frac{4}{3}} + C$

となる。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{8}(6x+7)^{\frac{4}{3}} + C$