$f(x) = x^3 + ax^2 + (3a-6)x + 5$ について、以下の問いに答える。 (1) 関数 $y=f(x)$ が極値をもつような $a$ の範囲を求める。 (2) 関数 $y=f(x)$ が極値をもつ $a$ に対して、関数 $y=f(x)$ は $x=p$ で極大値、$x=q$ で極小値をとるとする。関数 $y=f(x)$ 上の2点 $P(p, f(p))$ , $Q(q, f(q))$ を結ぶ直線の傾き $m$ を $a$ を用いて表す。

1. 問題の内容

$f(x) = x^3 + ax^2 + (3a-6)x + 5$ について、以下の問いに答える。

(1) 関数 $y=f(x)$ が極値をもつような $a$ の範囲を求める。

(2) 関数 $y=f(x)$ が極値をもつ $a$ に対して、関数 $y=f(x)$ は $x=p$ で極大値、$x=q$ で極小値をとるとする。関数 $y=f(x)$ 上の2点 $P(p, f(p))$ , $Q(q, f(q))$ を結ぶ直線の傾き $m$ を $a$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $y=f(x)$ が極値をもつための条件は、$f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つことである。

まず、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + (3a-6)$

$f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つための条件は、判別式 $D > 0$ である。

$D = (2a)^2 - 4(3)(3a-6) = 4a^2 - 36a + 72 = 4(a^2 - 9a + 18) = 4(a-3)(a-6) > 0$

したがって、$(a-3)(a-6) > 0$ より、$a < 3$ または $a > 6$

(2) $f'(x) = 3x^2 + 2ax + (3a-6) = 0$ の2つの解が $p$ と $q$ である。解と係数の関係より、

$p+q = -\frac{2a}{3}$

$pq = \frac{3a-6}{3} = a-2$

2点 $P(p, f(p))$ , $Q(q, f(q))$ を結ぶ直線の傾き $m$ は、

$m = \frac{f(q) - f(p)}{q-p}$

$f(q) - f(p) = (q^3 - p^3) + a(q^2 - p^2) + (3a-6)(q-p)$

$= (q-p)(q^2 + pq + p^2) + a(q-p)(q+p) + (3a-6)(q-p)$

$= (q-p)[(q^2 + pq + p^2) + a(q+p) + (3a-6)]$

$m = \frac{f(q) - f(p)}{q-p} = q^2 + pq + p^2 + a(q+p) + (3a-6)$

$= (p+q)^2 - pq + a(p+q) + 3a - 6$

$= (-\frac{2a}{3})^2 - (a-2) + a(-\frac{2a}{3}) + 3a - 6$

$= \frac{4a^2}{9} - a + 2 - \frac{2a^2}{3} + 3a - 6$

$= \frac{4a^2}{9} - \frac{6a^2}{9} + 2a - 4$

$= -\frac{2a^2}{9} + 2a - 4$

3. 最終的な答え

(1) $a < 3$ または $a > 6$

(2) $m = -\frac{2}{9}a^2 + 2a - 4$