$f(x) = 2xe^{-x^2}$ とする。$a > 0$ に対し、曲線 $y = f(x)$ と直線 $x = a$ および $x$ 軸で囲まれた領域の面積を $S(a)$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) 関数 $y = f(x)$ が最大値をとる $x$ の値を求める。 (2) 極限 $k = \lim_{a \to \infty} S(a)$ の値を求める。 ただし、$\lim_{x \to \infty} xe^{-x^2} = 0$ および $\lim_{x \to -\infty} xe^{-x^2} = 0$ は証明せずに用いて良い。

1. 問題の内容

$f(x) = 2xe^{-x^2}$ とする。$a > 0$ に対し、曲線 $y = f(x)$ と直線 $x = a$ および $x$ 軸で囲まれた領域の面積を $S(a)$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) 関数 $y = f(x)$ が最大値をとる $x$ の値を求める。

(2) 極限 $k = \lim_{a \to \infty} S(a)$ の値を求める。

ただし、$\lim_{x \to \infty} xe^{-x^2} = 0$ および $\lim_{x \to -\infty} xe^{-x^2} = 0$ は証明せずに用いて良い。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x) = 2xe^{-x^2}$ の最大値を求める。

まず、$f(x)$ を微分する。

$f'(x) = 2e^{-x^2} + 2x(-2x)e^{-x^2} = 2e^{-x^2} - 4x^2e^{-x^2} = 2e^{-x^2}(1 - 2x^2)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$2e^{-x^2}(1 - 2x^2) = 0$

$e^{-x^2} > 0$ であるから、$1 - 2x^2 = 0$ となる $x$ を考える。

$2x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{2}$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x > 0$ より、$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき $f'(x) > 0$ であり、$x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき $f'(x) < 0$ であるから、$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ で最大値をとる。

(2) $S(a)$ を求め、その極限を計算する。

$S(a) = \int_0^a |f(x)| dx = \int_0^a 2xe^{-x^2} dx$

$t = x^2$ と置換すると、$dt = 2x dx$ である。

$x = 0$ のとき $t = 0$、$x = a$ のとき $t = a^2$ である。

$S(a) = \int_0^{a^2} e^{-t} dt = [-e^{-t}]_0^{a^2} = -e^{-a^2} - (-e^0) = 1 - e^{-a^2}$

$k = \lim_{a \to \infty} S(a) = \lim_{a \to \infty} (1 - e^{-a^2}) = 1 - \lim_{a \to \infty} e^{-a^2} = 1 - 0 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $1$